高二数学新教材知识讲学专题五 用空间向量研究距离、夹角问题 核心素养练习 （解析版）

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专题五 用空间向量研究距离、夹角问题
一、核心素养聚焦
考点一 数学运算-求点到直线的距离
例题 7.在长方体 OABCO1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，求 O1到直线 AC 的距离．
【 解 析 】 法 一 ： 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 ， 则
A(2 ，0，0) ，O1(0 ，0，2) ，C(0 ，3，0) ， 过 O1作O1D⊥AC 于 点 D， 设
D(x，y，0)，AD＝(x－2，y，0)，O1D＝(x，y，－2)，
∵AC＝(－2,3,0)，O1D⊥AC，
AD∥AC，∴
解得∴D，
∴|O1D|＝＝.
即O1到直线 AC 的距离为.
法二：建立如图所示的空间直角坐标系．
则A(2,0,0)，O1(0,0,2)，C(0,3,0)，
∴AO1＝(－2,0,2)，
AC＝(－2,3,0)，
1
∴AO1·AC＝(－2,0,2)·(－2,3,0)＝4，
∴AO1在AC方向上的投影为
＝，∴O1到直线 AC 的距离
d＝＝.
二、学业质量测评
一、选择题
1．在三棱锥 中，PA，PB，PC 两两垂直，且 ，M，N分别为 AC，AB 的
中点，则异面直线 PN 和BM 所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
以点 P为坐标原点，以 ， ， 方向为 x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角
坐标系，
令 ，则 ， ， ，
2
则 ， ，
设异面直线 PN 和BM 所成角为 ，则 .
故选：D.
2．已知两平面的法向量分别为 ， ，则两平面所成的二面角为（ ）
A．B．C．或D．
【答案】C
【详解】
∵两平面的法向量分别为
则两平面所成的二面角与 相等或互补
故 .
故两平面所成的二面角为 45°或 135°
故选 C．
3． 在正方体
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1中，若
F
，
G
分别是棱
AB
，
CC
1的中点，则直线
FG
与平面
A
1
ACC
1所成角
的正弦值等于(　　)
A．B．
C．D．
3
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