专题12四边形的几何综合问题（原卷版）【苏科版】

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2020 年中考数学必考经典题讲练案【苏科版】

专题 12 四边形的几何综合问题

【方法指导】

1.平行四边形的判定与性质的作用

平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、

角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分

别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．

2.菱形的性质与判定：

菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是

“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．菱形的四条边都相

等，

菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有 2条对称轴，分

别是两条对角线所在直线．

3.矩形的性质与判定：

关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其

特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．

在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．

4.正方形：

① 正方形的四条边都相等，四个角都是直角；②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角

线平分一组对角；③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．

④ 两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．

【题型剖析】

【类型 1】平行四边形的计算与证明

【例 1】（2019•宿豫区模拟）如图，在▱ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，过点 O的直线分别交

BC、AD 于点 E、F，G、H分别是 OB、OD 的中点．求证：

（1）OE＝OF；

（2）四边形 GEHF 是平行四边形．

【变式 1-1】（2019•亭湖区二模）已知点 E、F分别是▱ABCD 的边 BC、AD 的中点．

（1）求证：四边形 AECF 是平行四边形；

（2）若 BC＝10，∠BAC＝90°，求▱AECF 的周长．

【变式 1-2】（2019•海门市一模）如图，▱ABCD 中，点 E是BC 边的一点，延长 AD 至点 F，使∠DFC＝

∠DEC．求证：四边形 DECF 是平行四边形．

【变式 1-3】（2019•建邺区一模）如图，四边形 ABCD 是平行四边形，分别以 AB，CD 为边向外作等边

△ABE 和△CDF，连接 AF，CE．求证：四边形 AECF 为平行四边形．

【类型 2】菱形的计算与证明

【例 2】（2019•海门市二模）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，D、E分别是 AB、AC 的中点，过 C作

CF∥AB 交DE 延长线于点 F，连接 AF、DC．

求证：

（1）DE＝FE；

（2）四边形 ADCF 是菱形．

【变式 2-1】（2019•兴化市二模）已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，∠BAD 的平分线交 BC 于点

E，∠ABC 的平分线交 AD 于点 F．

（1）求证：四边形 ABEF 是菱形；

（2）若 AE＝6，BF＝8，平行四边形 ABCD 的面积是 36，求 AD 的长．

【变式 2-2 】（ 2019•江都区二模）如图，在四边形 ABCD 中，∠BAC ＝90° ，E是BC 的中点，

AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD 于点 F．

（1）求证：四边形 AECD 是菱形；

（2）若 AB＝5，AC＝12，求 EF 的长．

【变式 2-3】（2019•宿迁模拟）如图，在四边形 ABCD 中，AB∥DC，AB＝AD，对角线 AC．BD 交于点

O，AC 平分∠BAD，过点 C作CE⊥AB 交AB 的延长线于点 E．连接 OE．

（1）求证：四边形 ABCD 是菱形；

（2）若 AB ．OE＝2，求线段 CE 的长．

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