专题12四边形的几何综合问题（解析版）【苏科版】

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2020 年中考数学必考经典题讲练案【苏科版】

专题 12 四边形的几何综合问题

【方法指导】

1.平行四边形的判定与性质的作用

平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、

角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分

别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．

2.菱形的性质与判定：

菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是

“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．菱形的四条边都相

等，t菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有 2条对称

轴，分别是两条对角线所在直线．

3.矩形的性质与判定：

关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其

特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．

在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．

4.正方形：

① 正方形的四条边都相等，四个角都是直角；②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角

线平分一组对角；③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．

④ 两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．

【题型剖析】

【类型 1】平行四边形的计算与证明

【例 1】（2019•宿豫区模拟）如图，在▱ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，过点 O的直线分别交

BC、AD 于点 E、F，G、H分别是 OB、OD 的中点．求证：

（1）OE＝OF；

（2）四边形 GEHF 是平行四边形．

【分析】（1）由“AAS”证明△AOE≌△COF，可得 OE＝OF；

（2）由对角线互相平分的四边形是平行四边形可证四边形 GEHF 是平行四边形．

【解答】证明：（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形

∴AD∥BC，OA＝OC，OB＝OD

∴∠DAC＝∠BCA，且 OA＝OC，∠AOE＝∠COF

∴△AOE≌△COF（ASA）

∴OE＝OF

（2）∵OB＝OD，G、H分别是 OB、OD 的中点

∴GO＝OH，且 OE＝OF

∴四边形 GEHF 是平行四边形．

【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用平行四边形的判定

和性质是本题的关键．

【变式 1-1】（2019•亭湖区二模）已知点 E、F分别是▱ABCD 的边 BC、AD 的中点．

（1）求证：四边形 AECF 是平行四边形；

（2）若 BC＝10，∠BAC＝90°，求▱AECF 的周长．

【分析】（1）根据平行四边形的判定和性质即可得到结论；

（2）根据直角三角形的性质得到 AE＝CE BC＝5，推出四边形 AECF 是菱形，于是得到结论．

【解答】（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，

∴AD∥BC，AD＝BC，

∵点 E、F分别是▱ABCD 的边 BC、AD 的中点，

∴AF AD，CE BC，

∴AF＝CE，AF∥CE，

∴四边形 AECF 是平行四边形；

（2）解：∵BC＝10，∠BAC＝90°，E是BC 的中点．

∴AE＝CE BC＝5，

∴四边形 AECF 是菱形，

∴▱AECF 的周长＝4×5＝20．

【变式 1-2】（2019•海门市一模）如图，▱ABCD 中，点 E是BC 边的一点，延长 AD 至点 F，使∠DFC＝

∠DEC．

求证：四边形 DECF 是平行四边形．

【分析】由平行四边形的性质可得 AD∥BC，可得∠ADE＝∠DEC，可证 DE∥CF，可得结论．

【解析】∵四边形 ABCD 是平行四边形

∴AD∥BC

∴∠ADE＝∠DEC，且∠DFC＝∠DEC

∴∠ADE＝∠DFC

∴DE∥CF，且 DF∥BC

∴四边形 DECF 是平行四边形．

【变式 1-3】（2019•建邺区一模）如图，四边形 ABCD 是平行四边形，分别以 AB，CD 为边向外作等边

△ABE 和△CDF，连接 AF，CE．求证：四边形 AECF 为平行四边形．

【分析】由平行四边形的性质可得 AB＝CD，AD＝BC，∠ABC＝∠ADC，由等边三角形的性质可得 BE

＝EA＝AB＝CD＝CF＝DF，∠EBA＝∠CDF＝60°，由“SAS”可证△ADF≌△CBE，可得 EC＝AF，由

两组对边相等的四边形是平行四边形可证四边形 AECF 为平行四边形．

【解答】证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形

∴AB＝CD，AD＝BC，∠ABC＝∠ADC

∵△ABE 和△CDF 是等边三角形

∴BE＝EA＝AB＝CD＝CF＝DF，∠EBA＝∠CDF＝60°

∴∠ADF＝∠EBC，且 AD＝BC，BE＝DF

∴△ADF≌△CBE（SAS）

∴EC＝AF，且 AE＝CF

∴四边形 AECF 为平行四边形

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