专题12.2 不等式的证明（原卷版）
第十二篇 不等式选讲
专题 12.02 不等式的证明
【考纲要求】
1.会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形：·≥2，并会简单应用．
2．了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题．
3．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法
【命题趋势】
不等式的证明是对必修 5 中“不等式”的补充和深化，其中以考查综合法、分析法、放缩法等为主．另外应
用基本不等式、柯西不等式求函数的最值也是高考考查的一个方向
【核心素养】
本讲内容体现对数学运算，逻辑推理的考查。
【素养清单•基础知识】
1．基本不等式
(1)定理 1：如果
a
，
b
∈R，那么
a
2＋
b
2≥2
ab
，当且仅当
a
＝
b
时，等号成立．
(2)定理 2：如果
a
，
b
＞0，那么≥，当且仅当
a
＝
b
时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于
或等于)它们的几何平均．
(3)定理 3：如果
a
，
b
，
c
∈R＋，那么≥，当且仅当
a
＝
b
＝
c
时，等号成立．
2．比较法
(1)作差法的依据是：
a
－
b
＞0⇔
a
＞
b
.
(2)作商法：若
B
＞0，欲证
A
≥
B
，只需证≥1.
3．综合法与分析法
(1)综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命
题成立．
(2)分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成
立的事实(定义，公理或已证明的定理，性质等)，从而得出要证的命题成立．
4．反证法
先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推
理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而
证明原命题成立，我们把它称为反证法．
5．放缩法
1
证明不等式时，通过把所证不等式的一边适当地放大或缩小以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等
关系更为明显，从而得出原不等式成立，这种方法称为放缩法．
6．数学归纳法
数学归纳法证明不等式的一般步骤：
(1)证明当
n
＝
n
0时命题成立．
(2)假设当
n
＝
k
(
k
∈N*，且
k
≥
n
0)时命题成立，证明
n
＝
k
＋1 时命题也成立．
综合(1)(2)可知，结论对于任意
n
≥
n
0，且
n
0，
n
∈N*都成立．
7．柯西不等式
(1)二维柯西不等式：设
a
，
b
，
c
，
d
均为实数，则(
a
2＋
b
2) (
c
2＋
d
2)≥(
ac
＋
bd
)2，等号当且仅当
ad
＝
bc
时，
等号成立．
(2)三维柯西不等式：设
a
1，
a
2，
a
3，
b
1，
b
2，
b
3均为实数，则(
a
＋
a
＋
a
)(
b
＋
b
＋
b
)≥(
a
1
b
1＋
a
2
b
2＋
a
3
b
3)2，
当且仅当
bi
＝0(
i
＝1,2,3)或存在一个数
k
，使得
ai
＝
kbi
(
i
＝1,2,3)时，等号成立．
(3)
n
维柯西不等式：设
a
1，
a
2，
a
3，…，
an
，
b
1，
b
2，
b
3，…，
bn
是实数，则(
a
＋
a
＋…＋
a
)(
b
＋
b
＋…＋
b
)≥(
a
1
b
1＋
a
2
b
2＋…＋
anbn
)2，当且仅当
bi
＝0(
i
＝1,2，…，
n
)或存在一个数
k
，使得
ai
＝
kbi
(
i
＝1,2，
…，
n
)时，等号成立．
8．排序不等式
设
a
1≤
a
2≤…≤
an
，
b
1≤
b
2≤…≤
bn
为两组实数，
c
1，
c
2，…，
cn
是
b
1，
b
2，…，
bn
的任一排列，那么
a
1
bn
＋
a
2
bn
－1＋…＋
anb
1≤
a
1
c
1＋
a
2
c
2＋…＋
ancn
≤
a
1
b
1＋
a
2
b
2＋…＋
anbn
.
当且仅当
a
1＝
a
2＝…＝
an
或
b
1＝
b
2＝…＝
bn
时，反序和等于顺序和．
【真题体验】
1．【2019 年高考全国Ⅰ卷理数】已知
a
，
b
，
c
为正数，且满足
abc
=1．证明：
（1） ；
（2）．[来源:Z+xx+k.Com]
2
2.【2019 年高考全国Ⅲ卷理数】设 ，且 ．
（1）求 的最小值；
（2）若 成立，证明： 或 ．
3.(2019·长春质检)设不等式||
x
＋1|－|
x
－1||<2 的解集为
A
.
(1)求集合
A
；
(2)若
a
，
b
，
c
∈
A
，求证：>1.
4.(2019·南宁模拟)(1)解不等式|
x
＋1|＋|
x
＋3|<4；
(2)若
a
，
b
满足(1)中不等式，求证：2|
a
－
b
|<|
ab
＋2
a
＋2
b
|.
3
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