专题12.1 绝对值不等式（原卷版）

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第十二篇 不等式选讲
专题 12.01 绝对值不等式
【考纲要求】
1.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：
(1)≤＋.
(2)≤＋.
2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：
≤c，≥c，＋≥c..
【命题趋势】
解绝对值不等式是本部分在高考中的重点考查内容，其中以解含有两个绝对值的不等式为主.
【核心素养】
本讲内容突出对数学运算，数学抽象，逻辑推理的考查。
【素养清单•基础知识】
1．绝对值三角不等式
定理 1：如果
a
，
b
是实数，则|
a
＋
b
|≤|
a
|＋|
b
|，当且仅当
ab
≥0 时，等号成立．
定理 2：如果
a
，
b
，
c
是实数，那么|
a
－
c
|≤|
a
－
b
|＋|
b
－
c
|，当且仅当(
a
－
b
)(
b
－
c
)≥0 时，等号成立．
↓
|
a
|－|
b
|≤|
a
－
b
|≤|
a
|＋|
b
|，当且仅当|
a
|≥|
b
|且
ab
≥0 时，左边等号成立，当且仅当
ab
≤0 时，右边
等号成立.
2．绝对值不等式的解法　
(1)|
x
|<
a
与|
x
|>
a
型不等式的解法
不等式
a
>0
a
＝0
a
<0
|
x
|<
a
∅ ∅
|
x
|>
a
{
x
|
x
>
a
或
x
<－
a
} {
x
|
x
∈R 且
x
≠0} R
(2)|
ax
＋
b
|≤
c
(
c
＞0)和|
ax
＋
b
|≥
c
(
c
>0)型不等式的解法：
①|
ax
＋
b
|≤
c
⇔－
c
≤
ax
＋
b
≤
c
；
②|
ax
＋
b
|≥
c
⇔
ax
＋
b
≥
c
或
ax
＋
b
≤－
c
.
|
x
－
a
|＋|
x
－
b
|≥
c
和|
x
－
a
|＋|
x
－
b
|≤
c
型不等式的解法及体现数学思想
① 利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
② 利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
③ 通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.
1
【真题体验】
1.【2019 年高考全国Ⅱ卷理数】已知
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 时， ，求 的取值范围．
2.【2019年高考江苏卷数学】设 ，解不等式 ．
3.(2018·福州质检)设函数
f
(
x
)＝|
x
－1|，
x
∈R.
(1)求不等式
f
(
x
)≤3－
f
(
x
－1)的解集；
(2)已知关于
x
的不等式
f
(
x
)≤
f
(
x
＋1)－|
x
－
a
|的解集为
M
，若⊆
M
，求实数
a
的取值范围．
4.(2019·贵阳适应性考试)已知函数
f
(
x
)＝|
x
－2|－|
x
＋1|.
(1)解不等式
f
(
x
)>－
x
；
(2)若关于
x
的不等式
f
(
x
)≤
a
2－2
a
的解集为 R，求实数
a
的取值范围．
2
5. 已知函数 f(
x
)＝|
x
＋
m
|＋|2
x
－1|(
m
∈R)，若关于
x
的不等式
f
(
x
)≤|2
x
＋1|的解集为
A
，且⊆
A
，求实
数
m
的取值范围．
6.(2018·合肥质检)已知函数
f
(
x
)＝|2
x
－1|.
(1)解关于
x
的不等式
f
(
x
)－
f
(
x
＋1)≤1；
(2)若关于
x
的不等式
f
(
x
)<
m
－
f
(
x
＋1)的解集不是空集，求
m
的取值范围．
7.(2019·沈阳质检)已知函数 f(x)＝|x－a|＋3x，其中 a∈R.
(1)当
a
＝1 时，求不等式
f
(
x
)≥3
x
＋|2
x
＋1|的解集；
3
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