专题12.1 绝对值不等式（解析版）

第十二篇不等式选讲

专题 12.01 绝对值不等式

【考纲要求】

1.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：

(1)≤＋.

(2)≤＋.

2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：

≤c，≥c，＋≥c..

【命题趋势】

解绝对值不等式是本部分在高考中的重点考查内容，其中以解含有两个绝对值的不等式为主.

【核心素养】

本讲内容突出对数学运算，数学抽象，逻辑推理的考查。

【素养清单•基础知识】

1．绝对值三角不等式

定理 1：如果

a

，

b

是实数，则|

a

＋

b

|≤|

a

|＋|

b

|，当且仅当

ab

≥0 时，等号成立．

定理 2：如果

a

，

b

，

c

是实数，那么|

a

－

c

|≤|

a

－

b

|＋|

b

－

c

|，当且仅当(

a

－

b

)(

b

－

c

)≥0 时，等号成立．

↓

|

a

|－|

b

|≤|

a

－

b

|≤|

a

|＋|

b

|，当且仅当|

a

|≥|

b

|且

ab

≥0 时，左边等号成立，当且仅当

ab

≤0 时，右边

等号成立.

2．绝对值不等式的解法　

(1)|

x

|<

a

与|

x

|>

a

型不等式的解法

不等式

a

>0

a

＝0

a

<0

|

x

|<

a

∅ ∅

|

x

|>

a

{

x

|

x

>

a

或

x

<－

a

} {

x

|

x

∈R 且

x

≠0} R

(2)|

ax

＋

b

|≤

c

(

c

＞0)和|

ax

＋

b

|≥

c

(

c

>0)型不等式的解法：

①|

ax

＋

b

|≤

c

⇔－

c

≤

ax

＋

b

≤

c

；

②|

ax

＋

b

|≥

c

⇔

ax

＋

b

≥

c

或

ax

＋

b

≤－

c

.

|

x

－

a

|＋|

x

－

b

|≥

c

和|

x

－

a

|＋|

x

－

b

|≤

c

型不等式的解法及体现数学思想

① 利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；

② 利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

③ 通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.

1

【真题体验】

1.【2019 年高考全国Ⅱ卷理数】已知

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若时，，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）当

a

=1 时，．

当时，；当时，．

所以，不等式的解集为．

（2）因为，所以．

当，时，．

所以，的取值范围是．

【名师点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型

2.【2019年高考江苏卷数学】设，解不等式．

【答案】．

【解析】当

x

<0时，原不等式可化为，解得

x

< ；

当0≤

x

≤ 时，原不等式可化为

x

+1–2

x

>2，即

x

<–1，无解；

当

x

> 时，原不等式可化为

x

+2

x

–1>2，解得

x

>1 ．

综上，原不等式的解集为．

2

【名师点睛】本题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力．

3.(2018·福州质检)设函数

f

(

x

)＝|

x

－1|，

x

∈R.

(1)求不等式

f

(

x

)≤3－

f

(

x

－1)的解集；

(2)已知关于

x

的不等式

f

(

x

)≤

f

(

x

＋1)－|

x

－

a

|的解集为

M

，若⊆

M

，求实数

a

的取值范围．

【答案】见解析

【解析】(1)因为

f

(

x

)≤3－

f

(

x

－1)，

所以|

x

－1|≤3－|

x

－2|⇔|

x

－1|＋|

x

－2|≤3⇔或或

解得 0≤

x

<1 或 1≤

x

≤2 或 2<

x

≤3，所以 0≤

x

≤3，

故不等式

f

(

x

)≤3－

f

(

x

－1)的解集为[0,3]．

(2)因为⊆

M

，

所以当

x

∈时，

f

(

x

)≤

f

(

x

＋1)－|

x

－

a

|恒成立，

而

f

(

x

)≤

f

(

x

＋1)－|

x

－

a

|⇔|

x

－1|－|

x

|＋|

x

－

a

|≤0⇔|

x

－

a

|≤|

x

|－|

x

－1|，

因为

x

∈，所以|

x

－

a

|≤1，即

x

－1≤

a

≤

x

＋1，

由题意，知

x

－1≤

a

≤

x

＋1 对于任意的

x

∈恒成立，

所以≤

a

≤2，故实数

a

的取值范围为.

4.(2019·贵阳适应性考试)已知函数

f

(

x

)＝|

x

－2|－|

x

＋1|.

(1)解不等式

f

(

x

)>－

x

；

(2)若关于

x

的不等式

f

(

x

)≤

a

2－2

a

的解集为 R，求实数

a

的取值范围．

【答案】见解析

【解析】(1)原不等式等价于

f

(

x

)＋

x

＞0，不等式

f

(

x

)＋

x

>0 可化为|

x

－2|＋

x

>|

x

＋1|，

当

x

<－1 时，－(

x

－2)＋

x

>－(

x

＋1)，解得

x

>－3，即－3<

x

<－1；

当－1≤

x

≤2 时，－(

x

－2)＋

x

>

x

＋1，解得

x

<1，即－1≤

x

<1；

当

x

>2 时，

x

－2＋

x

>

x

＋1，解得

x

>3，即

x

>3，

综上所述，不等式

f

(

x

)＋

x

>0 的解集为{

x

|－3<

x

<1 或

x

>3}．

(2)由不等式

f

(

x

)≤

a

2－2

a

可得|

x

－2|－|

x

＋1|≤

a

2－2

a

，

∵|

x

－2|－|

x

＋1|≤|

x

－2－

x

－1|＝3，当且仅当

x

∈(－∞，－1]时等号成立，

∴

a

2－2

a

≥3，即

a

2－2

a

－3≥0，解得

a

≤－1 或

a

≥3.

∴实数

a

的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．

5. 已知函数 f(

x

)＝|

x

＋

m

|＋|2

x

－1|(

m

∈R)，若关于

x

的不等式

f

(

x

)≤|2

x

＋1|的解集为

A

，且⊆

A

，求实

数

m

的取值范围．

【答案】见解析

【解析】∵⊆

A

，

∴当

x

∈时，不等式

f

(

x

)≤|2

x

＋1|恒成立，

3

专题12.1 绝对值不等式（解析版）

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