专题12 圆锥曲线综合问题（3）-定点、定值、探究性问题（原卷版）

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2020 年高考数学（理）解析几何突破性讲练
12 圆锥曲线综合问题（3）
-定点、定值、探究性问题
一、考点传真：
1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法；
2.了解圆锥曲线的简单应用；
3.理解数形结合的思想．
二、知识点梳理：
1.圆锥曲线中定点问题的两种解法
(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系 ，
找到定点.
(2)特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
2.圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法
(1)特点：待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值.
(2)两大解法：
① 从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
② 引起变量法：其解题流程为
→
　↓
→
　↓
→
3.探究性问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成
立，成立则存在，否则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往
涉及对参数的讨论.
三、例题：
例 1．（2019 北京卷）已知抛物线
2
: 2C x py 
经过点(2，-1).
(I) 求抛物线
C
的方程及其准线方程；
设
O
为原点，过抛物线
C
的焦点作斜率不为 0 的直线
l
交抛物线
C
于两点
M
，
N
，直线
y
=-1 分别交直线
OM
，
ON
于点
A
和点
B
，求证：以
AB
为直径的圆经过
y
轴上的两上定点.
1
例 2. (2016 年山东卷)平面直角坐标系
xOy
中，椭圆
C
：
 
2 2
2 2
1 0
x y a b
a b
＞ ＞
的离心率是
3
2
，抛物线
E
：
2
2x y
的焦点
F
是
C
的一个顶点.
（Ⅰ）求椭圆
C
的方程；
（Ⅱ）设
P
是
E
上的动点，且位于第一象限，
E
在点
P
处的切线
l
与
C
交与不同的两点
A
，
B
，线段
AB
的中点为
D
，直线
OD
与过
P
且垂直于
x
轴的直线交于点
M
．
（i）求证：点
M
在定直线上；
（ii）直线
与
y
轴交于点
G
，记
PFG△
的面积为
1
S
，
PDM△
的面积为
2
S
，
求
1
2
S
S
的最大值及取得最大值时点
P
的坐标．
例 3. （2015 四川卷）如图，椭圆
E
：
2 2
2 2
+ 1( 0)
x y a b
a b  
的离心率是
2
2
，过点
(0,1)P
的动直线
l
与
椭圆相交于
,A B
两点，当直线
l
平行与
x
轴时，直线
l
被椭圆
E
截得的线段长为
2 2
．
（1）求椭圆
E
的方程；
（2）在平面直角坐标系
xOy
中，是否存在与点
P
不同的定点
Q
，使得
QA PA
QB PB
恒成立？若存在，
求出点
Q
的坐标；若不存在，请说明理由．
2
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