专题12 圆锥曲线综合问题（3）-定点、定值、探究性问题（解析版）
2020 年高考数学（理）解析几何突破性讲练
12 圆锥曲线综合问题（3）
-定点、定值、探究性问题
一、考点传真：
1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法；
2.了解圆锥曲线的简单应用；
3.理解数形结合的思想．
二、知识点梳理：
1.圆锥曲线中定点问题的两种解法
(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系 ，
找到定点.
(2)特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
2.圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法
(1)特点：待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值.
(2)两大解法：
① 从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
② 引起变量法：其解题流程为
→
↓
→
↓
→
3.探究性问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成
立，成立则存在，否则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往
涉及对参数的讨论.
三、例题：
例 1．（2019 北京卷）已知抛物线
2
: 2C x py
经过点(2，-1).
(I) 求抛物线
C
的方程及其准线方程；
设
O
为原点，过抛物线
C
的焦点作斜率不为 0 的直线
l
交抛物线
C
于两点
M
，
N
，直线
y
=-1 分别交直线
OM
，
ON
于点
A
和点
B
，求证：以
AB
为直径的圆经过
y
轴上的两上定点.
1
【解析】（I）由抛物线
2
: 2C x py
经过点
2, 1
，得
2p
.
所以抛物线
C
的方程为
2
4x y
，其准线方程为
1y
.
（II）抛物线
C
的焦点为
0, 1
，设直线 l 的方程为
1 0y kx k
.
由
2
4
1
x y
y kx
，得
2
4 4 0x kx
.
设
1 1 2 2
, , , ,M x y N x y
则
1 2
4x x
.
直线
OM
的方程为
1
1
y
y x
x
，令
1y
，得点 A 的横坐标为
1
1
A
x
xy
同理可得点 B 的横坐标
2
2
B
x
xy
.
设点
0,D n
，则
2 2
1 2 1 2
2 2
1 2 1 2
1 1
4 4
x x x x
DA DB n n
y y x x
uuur uuur
2 2
1 2
16 1 4 1n n
x x
.
令
0,DA DB
uuur uuur
即
2
4 1 0n
，得
1n
或
3n
.
综上，以
AB
为直径的圆经过
y
轴上的定点
0,1 0, -3和
．
例 2. (2016 年山东卷)平面直角坐标系
xOy
中，椭圆
C
：
2 2
2 2
1 0
x y a b
a b
＞ ＞
的离心率是
3
2
，抛物线
E
：
2
2x y
的焦点
F
是
C
的一个顶点.
（Ⅰ）求椭圆
C
的方程；
（Ⅱ）设
P
是
E
上的动点，且位于第一象限，
E
在点
P
处的切线
l
与
C
交与不同的两点
A
，
B
，线段
AB
的中
点为
D
，直线
OD
与过
P
且垂直于
x
轴的直线交于点
M
．
（i）求证：点
M
在定直线上；
2
（ii）直线
l
与
y
轴交于点
G
，记
PFG△
的面积为
1
S
，
PDM△
的面积为
2
S
，
求
1
2
S
S
的最大值及取得最大值时点
P
的坐标．
【解析】(Ⅰ) 由离心率是
2
3
，有
22
4= ba
，
又抛物线
yx 2=
2
的焦点坐标为
)
2
1
,0(F
，所以
2
1
=b
，于是
1=a
，
所以椭圆
C
的方程为
1=4+
22
yx
．
(Ⅱ) （i）设
P
点坐标为
2
, ),( 0)
2
m
P m m （
，
由
yx 2=
2
得
xy =
′
，所以
E
在点
P
处的切线
l
的斜率为
m
，
因此切线
l
的方程为
2
=
2
m
mx－y
，
设
),(),,(
2211
yxByxA
，
),( 00 yxD
，
将
2
=
2
m
mx－y
代入
1=4+
22
yx
，得
0=1+4)4+1
2322
－mxm－xm（
．
于是
2
3
21 4+1
4
=+ m
m
xx
，
2
3
21
04+1
2
=
2
+
=m
m
xx
x
，
3
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