专题12 平面向量的线性运算与数量积（解析版）

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专题 12 平面向量的线性运算与数量积
【知识框图】
【自主热身，归纳总结】
1、【2018 年高考全国 II 卷理数】已知向量 ， 满足 ， ，则
A．4 B．3
C．2 D．0
【答案】B
【解析】因为 所以选 B.
2、（2020 届山东省泰安市高三上期末）已知向量 ， ， ．若
，则实数 的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ,选C.
3、（2020 届山东省日照市高三上期末联考）设 是非零向量，则 是 成立的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
1
【答案】B
【解析】由 可知： 方向相同， 表示 方向上的单位向量
所以 成立;反之不成立.
故选 B
4、（2020 届山东省德州市高三上期末）已知向量 ， 满足 ， ， ，
则 与 的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】 ，即 ，得 ，
则 ， ， .
故选：C.
5、（2020·河南高三期末（文））如图，在等腰直角 中， ， 分别为斜边 的三等分点（
靠近点 ），过 作 的垂线，垂足为 ，则 （ ）
A．B．
C．D．
2
【答案】D
【解析】设 ，则 ，
， ，
所以 ，所以 .
因为 ，
所以 .
6、（2020 届山东实验中学高三上期中）已知向量 满足 ， ， ，则 ____
_______.
【答案】
【解析】由已知： ， ， ，所以 ，展开得到 ，所以
，
所以 ，
所以 ；
故答案为： ．
7、在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，角A的 平 分 线 与 AB 边 上 的 中 线 交 于 点 O，若AO ＝xAB ＋
yAC(x，y∈R)，则x＋y的值为________.
【答案】. 　
解析：如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，CE 为AB 边的中线，且AD∩CE＝O.在△AEO 中，由
正弦定理得＝；在△ACO 中，由正弦定理得＝，两式相除得＝，因为 AE＝AB＝1，AC＝3，所以＝.所以
CO＝3OE，即AO－AC＝3(AE－AO)，即4AO＝3AE＋AC，所以 4AO＝AB＋AC，从而AO＝AB＋AC，
因为AO＝xAB＋yAC，所以 x＝，y＝，于是 x＋y＝.
3
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