专题11.3 二项式定理 2021年新高考数学一轮复习讲练测（讲）解析版

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专题 11.3 二项式定理
【考纲解读与核心素养】
1.了解“杨辉三角”的特征，掌握二项式系数的性质及其简单应用.
2．掌握二项式定理，会用二项式定理解决有关的简单问题.
3．培养学生的数学运算、逻辑推理、数据分析等核心数学素养.
4. 高考预测：
（1）考查二项式定理；
（2）考查通项公式的应用；
（3）考查二项式系数的性质.
（4）热点是通项公式的应用，利用通项公式求特定项或特定的项的系数，或已知某项，求指数 n，求参数
的值等.
5.备考重点：
(1) 掌握二项式定理、特别是通项公式；
(2) 掌握二项式系数的性质及其简单应用.
【知识清单】
知识点 1. 二项式定理
1. 二项式定理
 
 
0 1 1 *
nn n r n r r n n
n n n n
a b C a C a b C a b C b n N
 
     
，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，
右边的多项式叫做
 
n
a b
的二项展开式，其中的系数
r
n
C
(
0,1, 2,3, ,r n
)叫做二项式系数．式中的
r n r r
n
C a b
叫做二项展开式的通项，用
1r
T
表示，即展开式的第
1r
项；
.
2．二 项展开式形式上的特点
(1)项数为
1n
.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数
n
，即
a
与
b
的指数的和为
n
.
(3)字母
a
按降幂排列，从第一项开始，次数由
n
逐项减 1直到零；字母
b
按升幂排列，从第一项起，次数
由零逐项增 1直到
n
.
(4)二项式的系数从
0
n
C
，
1
n
C
，一直到
1n
n
C
，
n
n
C
.
知识点 2. 二项式系数的性质
1. 二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即
0n
n n
C C
，
1 1n
n n
C C
，
，
m n m
n n
C C
.
(2)增减性与最大值：二项式系数
r
n
C
，当
1
2
n
r
时，二项式系 数是递增的；由对称性知：当
1
2
n
r
时，
二项式系数是递减的．
2 / 14
当
n
是偶数时，中间的一项
2
n
n
C
取得最大值．
当
n
是奇数时，中间两项
1
2
n
n
C
和
1
2
n
n
C
相等，且同时取得最大值．
(3)各二项式系数的和
 
n
a b
的展开式的各个二项式系数的和等于
2
n
，即
0 1
2
r n n
n n n n
C C C C      
，二项展开式中，
偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即
0 2 4 1 3 5 1
2
n
n n n n n n
C C C C C C
    
，
2.注意:（1）．分清
r n r r
n
C a b
是第
1r
项，而不是第
r
项.
(2)．在通项公式
1
r n r r
r n
T C a b
中，含有
1r
T
、
r
n
C
、
a
、
b
、
n
、
r
这六个参数，只有
a
、
b
、
n
、
r
是
独立的，在未知
n
、
r
的情况下，用通项公式解题，一般都需要首先将通式转化为方程（组）求出
n
、
r
,
然后代入通项公式求解.
(3)． 求二项展开式中的一些特殊项，如系数最大项，常数项等，通常都是先利用通项公式由题意列方程，
求出
r
，再求所需的某项；有时则需先求
n
,计算时要注意
n
和
r
的取值范围以及 它们之间的大小关系.
(4) 在
1
r n r r
r n
T C a b
中，
r
n
C
就是该项的二项式系数，它与
a
，
b
的值无关；而
1r
T
项的系数是指化简后
字母外的 数．
知识点 3. 二项式定理的应用
二项式的应用
（1）求某些多项式系数的和；
（2）证明一些简单的组合恒等式；
（3）证明整除性,① 求数的末位；②数的整除性及求系数；③简单多项式的整除问题；
（4）近似计算.当
x
充分小时，我们常用下列公式估计近似值：
①
 
1 1
n
x nx  
；②
   
2
1
1 1 2
n
n n
x nx x
 
；
（5）证明不等 式.
【典例剖析】
高频考点一 ： 二项式定理
【典例 1】（2018 年浙江卷）二项式 的展开式的常数项是___________．
【答案】7
【解析】
3 / 14
二项式 的展开式的通项公式为 ,
令 得 ，故所求的常数项为
【典例 2】（2017·全国高考真题（理））（2017 新课标全国卷Ⅰ理科）
6
2
1
(1 )(1 )x
x
 
展开式中
2
x
的系
数为（ ）
A.15 B.20
C.30 D.35
【答案】C
【解析】
因为
6 6 6
2 2
1 1
(1 )(1 ) 1 (1 ) (1 )x x x
x x
 
，则
6
(1 )x
展开式中含
2
x
的项为
2 2 2
6
1 C 15x x 
，
6
2
1(1 )x
x 
展开式中含
2
x
的项为
4 4 2
6
2
1C 15x x
x 
，故
2
x
的系数为
15 15 30 
，选 C.
【典例 3】（2020·天津高考真题）在
5
2
2
xx
 
 
 
的展开式中，
2
x
的系数是_________．
【答案】10
【解析】
因为
5
2
2
xx
 
 
 
的展开式的通项公式为
 
5 5 3
1 5 5
2
22 0,1, 2,3, 4,5
r
r r r r r
r
T C x C x r
x
 
 
 
 
 
，令
5 3 2r 
，解得
1r
．
所以
2
x
的系数为
1
5
2 10C 
．
故答案为：
10
．
【典例 4】（2020·江苏省太湖高级中学高二期中）
2 5
( 3 2)x x 
的展开式中
3
x
的项的系数是________.
【答案】1560
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