专题11.2 参数方程（解析版）

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第十一篇 坐标系与参数方程
专题 11.02 参数方程
【考纲要求】
1.了解参数方程，了解参数的意义．
2.能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程
【命题趋势】
参数方程部分主要考查参数方程与普通方程的互化，并且多与极坐标方程结合考查.
【核心素养】
本讲内容体现对数学抽象，数学运算的考查
【素养清单•基础知识】
1．曲线的参数方程
在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标
x
，
y
都是某个变数
t
的函数并且对于
t
的每一个允许值，
由这个方程组所确定的点
M
(
x
，
y
)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变
数
x
，
y
的变数
t
叫做参变数，简称参数．
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程
F
(
x
，
y
)＝0 叫做普通方程．
2．参数方程和普通方程的互化
(1)参数方程化普通方程：利用两个方程相加、减、乘、除或者代入法消去参数．
(2)普通方程化参数方程：如果
x
＝
f
(
t
)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系
y
＝
g
(
t
)，则
得曲线的参数方程
3．直线、圆、椭圆的参数方程
(1)过点
M
(
x
0，
y
0)，倾斜角为
α
的直线
l
的参数方程为(
t
为参数)．
直线参数方程的标准形式的应用
过点
M
0(
x
0，
y
0)，倾斜角为
α
的直线
l
的参数方程是若
M
1，
M
2是
l
上的两点，其对应参数分别为
t
1，
t
2，
则
①|
M
1
M
2|＝|
t
1－
t
2|.
② 若线段
M
1
M
2的中点
M
所对应的参数为
t
，则
t
＝，中点
M
到定点
M
0的距离|
MM
0|＝|
t
|＝.
③ 若
M
0为线段
M
1
M
2的中点，则
t
1＋
t
2＝0.
④|
M
0
M
1||
M
0
M
2|＝|
t
1
t
2|.
(2)圆心在点
M
0(
x
0，
y
0)，半径为
r
的圆的参数方程为(
θ
为参数)．
(3)① 椭圆＋＝1(
a
>
b
>0)的参数方程为(
φ
为参数)．
② 椭圆＋＝1(
a
>
b
>0)的参数方程为(
φ
为参数)．
1
【真题体验】
1.【2019 年高考全国Ⅰ卷理数】在直角坐标系 xOy 中，曲线 C的参数方程为
2
2
2
1
1
4
1
t
xt
t
yt
，
（t为参数）．以坐标原点 O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l的极坐标方程为
2 cos 3 sin 11 0
 
 
．
（1）求 C和l的直角坐标方程；
（2）求 C上的点到 l距离的最小值．
【答案】（1） ； 的直角坐标方程为 ；（2） ．
【解析】（1）因为 ，且 ，所以C的直角坐标方程为
．
的直角坐标方程为 ．
（2）由（1）可设C的参数方程为 （ 为参数， ）．
C上的点到 的距离为 ．
当 时， 取得最小值7，故C上的点到 距离的最小值为 ．
【名师点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问
题．求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题．
2
2.【2019 年高考北京卷理数】已知直线 l的参数方程为 （t为参数），则点
（1，0）到直线l的距离是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，可将直线 化为普通方程： ，即 ，即 ，
所以点（1，0）到直线 的距离 ，故选 D．
【名师点睛】本题考查直线参数方程与普通方程的转化，点到直线的距离，属于容易题，注重基础知识、基
本运算能力的考查．
3.【2018 年高考全国Ⅱ卷理数】在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），直
线 的参数方程为 （ 为参数）．
（1）求 和 的直角坐标方程；
（2）若曲线 截直线 所得线段的中点坐标为 ，求 的斜 率．
【答案】（1）曲线 的直角坐标方程为 ， 的直角坐标方程为 ；（2） 的斜率为 ．
【解析】（1）曲线 的直角坐标方程为 ．
当 时， 的直角坐标方程为 ，[来源:学科网]
当 时， 的直角坐标方程为 ．
3
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