专题11.2 排列与组合 2021年新高考数学一轮复习讲练测（讲）解析版

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专题 11.2 排列与组合
【考纲解读与核心素养】
1. 理解排列、组合的概念，掌握排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题.
2．培养学生的数学运算、逻辑推理、数据分析等核心数学素养.
3. 高考预测：
（1）考查两个计数原理；
（2）考查排列组合问题；
（3）排列组合问题往往以实际问题为背景，考查排列数、组合数，同时考查分类讨论的思想及解决问题
的能力．除了以选择、填空的形式考查，也往往在解答题中与概率相结合进行考查．通常是两个计数原理
与排列组合问题综合考查．
4.备考重点：
(1) 理解排列组合的意义；
(2)掌握排列数、组合数公式.
（3）掌握简单排列组合问题的常见类型解法.
【知识清单】
知识点 1. 排列
1. 排列的相关概念及排列数公式
(1)排列的定义：从
n
个不同元素中取出
m
(
m n
)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从
n
个不同
元素中取出
m
个元素的一个排列．
(2)排列数的定义：从
n
个不同元素中取出
m
(
m n
)个元素的所有不同排列的个数叫做从
n
个不同元素
中取出
m
个元素的排列数，用
m
n
A
表示．
(3)排列数公式：
 
1 2 1
m
n
A n n n n m  
这里
并且
m n
(4)全排列：
n
个不同元素全部取出的一个排列，叫做
n
个元素的一个全排列，
 
1 2 2 1 !
n
n
A n n n n  
(叫做
n
的阶乘).排列数公式写成阶乘的形式为
 
!
!
m
n
n
A
n m
，这里规
定
0! 1
.
知识点 2.组合
组合的相关概念及组合数公式
(1)组合的定义：从
n
个不同元素中取出
m
(
m n
)个元素合成一组，叫做从
n
个不同元素中取出
m
个元
素的一个组合．
(2)组合数的定义：从
n
个不同元素中取出
m
(
m n
)个元素的所有不同组合的个数，叫做从
n
个不同元
素中取出
m
个元素的组合数，用
m
n
C
表示．[来源:学.科.网]
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(3)组合数的计算公式：
 
 
1 2 1 !
! ! !
m
mn
nm
m
n n n n m
An
C
A m m n m
 
 
，由于
0! 1
，所以
01
n
C
.
(4)组合数的性质：①
m n m
n n
C C
；②
1
1
m m m
n n n
C C C
 
；③
1
1
r r
n n
rC nC
.
【典例剖析】
高频考点一 ： 排列问题
【典例 1】（2020·江苏高三期中）
5
人排成一排照相，甲排在乙左边(可以相邻，也可以不相邻)的排法总
数为（ ）
A．
30
B．
60
C．
120
D．
240
【答案】B
【解析】
先5人全排列有
5
5
120A
种不同的排法，
甲排在乙左边的机会与排在右边的机会相同，
所以甲排在乙左边(可以相邻，也可以不相邻)的排法总数为
5
5
1 1 120 60
2 2
A 
种.
故选：B
【典例 2】（2019·浙江温州中学高三月考）
3
名男同学、
3
名女学生和
2
位老师站成一排拍照合影，要求
2
位老师必须站正中间，队伍左右两端不能同时是一男学生与一女学生，则总共有__________种排法．
【答案】
576
【解析】
当两端都是男生时：
2 4 2
3 4 2
288A A A 
当两端都是女生时：
2 4 2
3 4 2
288A A A 
共有
576
种排法
故答案为
576
【典例 3】（湖南省长沙市周南中学 2018 届三模）元旦晚会期间，高三二班的学生准备了 6 个参赛节目，
其中有 2 个舞蹈节目，2 个小品节目，2 个歌曲节目，要求歌曲节目一定排在首尾，另外 2 个舞蹈节目一
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定要排在一起，则这 6 个节目的不同编排种数为( )
A． 48 B． 36 C． 24 D． 12
【答案】C
【解析】
分 步进行：
① 歌曲节目排在首尾，有 种排法.
② 将 个小品节目安排在歌曲节目的中间，有 种排法.
③ 排好后， 个小品节目与 个歌曲节目之间有 3 个空位，
将 个舞蹈节目全排列，安排在中间的 个空位，有 种排法.
则这 个节目出场的不同编排种数为 种，故选 C.
【规律方法】
求解有限制条件排列问题的主要方法
直接法
分
类
法
选定一个适当的分类标准，将要完成的事件分成几个类型，分别计算每个类型中的排列数，
再由分类加法计数原理得出总数
分
步
法
选定一个适当的标准，将事件分成几个步骤来完成，分别计算出各步骤的排列数，再由分步
乘法计数原理得出总数
捆绑法相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列，同时注意捆绑元
素的内部排列
插空法 不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排
列的空中
除法 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以已定元素的全排列
间接法对于分类过多的问题，按正难则反，等价转化的方法
【变式探究】
1．（2020·浙江高二期中）将编号为
1
、
2
、
3
、
4
、
5
的
5
个小球全部放入
A
、
B
、
C
三个盒子内，若每
个盒子不空，且放在同一个盒子内的小球编号不相连，则不同的方法总数有（ ）
A．
42
B．
36
C．
48
D．
60
【答案】A
【解析】
将编号为
1
、
2
、
3
、
4
、
5
的
5
个小球，根据小球的个数可分为
1
、
1
、
3
或
1
、
2
、
2
两组.
① 当三个盒子中的小球个数分别为
1
、
1
、
3
时，由于放在同一个盒子里的小球编号互不相连，
故
3
个小球的编号只能是
1
、
3
、
5
的在一个盒子里，故只有一种分组方法，
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