专题11.1 坐标系（解析版）

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第十一篇 坐标系与参数方程
专题 11.01 坐标系
【考纲要求】
1.理解坐标系的作用．
2.了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．
3.能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能
进行极坐标和直角坐标的互化．
4.能在极坐标系中给出简单图形的方程，通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解
用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义..
【命题趋势】
极坐标与直角坐标在高考中主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程.
【核心素养】
本讲内容体现对数学抽象，直观想象，数学运算的考查
【素养清单•基础知识】
1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
设点
P
(
x
，
y
)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换
φ
：的作用下，点
P
(
x
，
y
)对应到点
P
′(
x
′，
y
′)，称
φ
为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
2．极坐标系
(1)极坐标系的概念
① 极坐标系：
如图所示，在平面内取一个定点
O
，点
O
叫做极点，自极点
O
引一条射线
Ox
，
Ox
叫做极轴；再选定一个长
度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．
② 极坐标：
1
一般地，没有特殊说明时，我们认为
ρ
≥0，
θ
可取任意实数．
③ 点与极坐标的关系：
一般地，极坐标(
ρ
，
θ
)与(
ρ
，
θ
＋2
k
π)(
k
∈Z)表示同一个点，特别地，极点
O
的坐标为(0，
θ
)
(
θ
∈R)，与直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示．
如果规定
ρ
>0,0≤
θ
<2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(
ρ
，
θ
)表示；同时，极坐标
(
ρ
，
θ
)表示的点也是唯一确定的．
(2)极坐标与直角坐标的互化
以坐标原点为极点，
x
轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．设
M
是平面内任意一点，它的直角坐标是
(
x
，
y
)，极坐标是(
ρ
，
θ
)，则它们之间的关系为：
3．常见曲线的极坐标方程
曲线 图形 极坐标方程
圆心在极点，半径为
r
的圆
ρ
＝
r
(0≤
θ
＜2π)
圆心为(
r,
0)，半径为
r
的圆
ρ
＝2
r
cos
θ
圆心为，半径为
r
的圆
ρ
＝2
r
sin
θ
(0≤
θ
＜π)
过极点，倾斜角为 的直线
θ
＝ (
ρ
∈R)或
θ
＝ ＋π(
ρ
∈R)
过点(a
,
0)，与极轴垂直的直线
ρ
cos
θ
＝
a
过点，与极轴平行的直线
ρ
sin
θ
＝
a
(0＜
θ
＜π)
2
【真题体验】
1.
【2019 年高考全国Ⅲ卷理数】如图，在极坐标系 Ox 中， ， ， ， ，弧
， ， 所在圆的圆心分别是 ， ， ，曲线 是弧 ，曲线 是弧 ，曲
线 是弧 ．
（1）分别写出 ， ， 的极坐标方程；
（2）曲线 由 ， ， 构成，若点 在 M上，且 ，求 P的极坐标．
【答案】（1） 的极坐标方程为 ， 的极坐标方程为 ，
的极坐标方程为 ．
（2） 或 或 或 ．
【解析】（1）由题设可得，弧 所在圆的极坐标方程分别为 ， ，
．
3
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