专题11.1 两个计数原理 2021年新高考数学一轮复习讲练测（讲）原卷版

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专题 11.1 两个计数原理
【考纲解读与核心素养】
1. 理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，会解决简单的计数问题.
2．培养学生的数学运算、逻辑推理、数据分析等核心数学素养.
3. 高考预测：
（1）考查两个计数原理；
（2）考查排列组合问题、概率计算中两个计数原理的应用．
（3）两个计数原理是解决排列、组合问题的基本方法，同时又能独立地解决一些简单的计数问题， 通常
与排列组合问题或概率计算问题综合考查．
4.备考重点：
(1) 理解两个计数原理；
(2)应用计数原理解决简单计数问题.
【知识清单】
知识点 1. 分类加法计数原理
1. 分类加法计数原理（加法原理）的概念
一般形式：完成一件事有 n类不同方案，在第 1类方案中有
1
m
种不同的方法，在第 2类方案中有
2
m
种不
同的方法，……，在第 n类方案中有
n
m
种不同的方法，那么完成这件事共有 N=
1
m
+
2
m
+……+
n
m
种不同
的方法.
知识点 2. 分步乘法计数原理
1．分步乘法计数原理(乘法原理)的概念
一般形式：完成一件事需要 n个步骤，做第 1步有
1
m
种不同的方法，做第 2步有
2
m
种不同的方法，……，
做第 n步有
n
m
种不同的方法，那么完成这件事共有 N=
1 2 n
m m m  …
种不同的方法.
2. 两个原理的区别：
（1）“每类”间与“每步”间的关系不同：分类加法计数原理中的每一类方案中的任何一种方法、不同
类之间的任何一种方法都是相互独立，互不依赖的，且是一次性的；而分步乘法计数原理中的每一步是相
互依赖，且是连续性的.
（2）“每类”与“每步”完成的效果不同：分类加法计数原理中所描述的每一种方法完成后，整个事件
就完成了，而分步乘法计数原理中每一步中的每一种方法得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成
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这件事.
3.切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行，同时要优先考虑题中的限制条件.
【典例剖析】
高频考点一 ：分类加法计数原理
【典例 1】（2020·北京高三二模）李明自主创业种植有机蔬菜，并且为甲、乙、丙、丁四家超市提供配送
服务，甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔
2
天、
3
天、
5
天、
天去配送一次．已知
5
月
1
日李明分别
去了这四家超市配送，那么整个
5
月他不用去配送的天数是（ ）
A．
12
B．
13
C．
14
D．
15
【典例 2】（2020·江苏扬州中学高一月考）已知集合
 
1, 2,3, 4,5P
，若 A，B是P的两个非空子集，则
所有满足 A中的最大数小于 B中的最小数的集合对(A,B)的个数为（ ）
A．49 B．48 C．47 D．46
【规律方法】
分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词、关键元素和关键位置．
(1)根据题目特点恰当选择一个分类标准．
(2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不
同的方法，不能重复．
(3)分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏．
【变式探究】
1.（2019·内蒙古集宁一中高二月考（理））书架上有不同的语文书 10本，不同的英语书 7 本，不同的数
学书 5 本，现从中任选一本阅读，不同的选法有(　　)
A．22 种 B．350 种C．32 种 D．20种
2.（2020·北京市第三十一中学高三期中）某公园划船收费标准如下：
船型
两人船
（限乘 2人）
四人船
（限乘 4人）
六人船
（限乘 6人）
每船租金
（元/小时） 90 100 130
某班16 名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，每只租船必须坐满，租船最低总费用为
___________元，租船的总费用共有__________种可能．
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