专题11.1 两个计数原理 2021年新高考数学一轮复习讲练测（讲）解析版

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专题 11.1 两个计数原理

【考纲解读与核心素养】

1. 理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，会解决简单的计数问题.

2．培养学生的数学运算、逻辑推理、数据分析等核心数学素养.

3. 高考预测：

（1）考查两个计数原理；

（2）考查排列组合问题、概率计算中两个计数原理的应用．

（3）两个计数原理是解决排列、组合问题的基本方法，同时又能独立地解决一些简单的计数问题，通常

与排列组合问题或概率计算问题综合考查．

4.备考重点：

(1) 理解两个计数原理；

(2)应用计数原理解决简单计数问题.

【知识清单】

知识点 1. 分类加法计数原理

1. 分类加法计数原理（加法原理）的概念

一般形式：完成一件事有 n类不同方案，在第 1类方案中有

种不同的方法，在第 2类方案中有

种不

同的方法，……，在第 n类方案中有

种不同的方法，那么完成这件事共有 N=

+……+

种不同

的方法.

知识点 2. 分步乘法计数原理

1．分步乘法计数原理(乘法原理)的概念

一般形式：完成一件事需要 n个步骤，做第 1步有

种不同的方法，做第 2步有

种不同的方法，……，

做第 n步有

种不同的方法，那么完成这件事共有 N=

1 2 n

m m m  …

种不同的方法.

2. 两个原理的区别：

（1）“每类”间与“每步”间的关系不同：分类加法计数原理中的每一类方案中的任何一种方法、不同

类之间的任何一种方法都是相互独立，互不依赖的，且是一次性的；而分步乘法计数原理中的每一步是相

互依赖，且是连续性的.

（2）“每类”与“每步”完成的效果不同：分类加法计数原理中所描述的每一种方法完成后，整个事件

就完成了，而分步乘法计数原理中每一步中的每一种方法得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成

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这件事.

3.切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行，同时要优先考虑题中的限制条件.

【典例剖析】

高频考点一：分类加法计数原理

【典例 1】（2020·北京高三二模）李明自主创业种植有机蔬菜，并且为甲、乙、丙、丁四家超市提供配送

服务，甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔

天、

天去配送一次．已知

月

日李明分别

去了这四家超市配送，那么整个

月他不用去配送的天数是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】

将

月剩余的 30 天依次编号为 1，2，3



30，

因为甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔

天、

天去配送一次，且

月

日李明分别去了

这四家超市配送，

所以李明每逢编号为 3的倍数的那天要去甲超市配送，每逢编号为 4的倍数的那天要去乙超市配送，每逢

编号为 6的倍数的那天要去丙超市配送，每逢编号为 7的倍数的那天要去丁超市配送，

则李明去甲超市的天数编号为：3、6、9、12、15、18、21、24、27、30，共 10 天；

李明去乙超市但不去甲超市的天数编号为：4、8、16、20、28，共 5天；

李明去丙超市但不去甲、乙超市的天数编号不存在，共 0天；

李明去丁超市但不去甲、乙、丙超市的天数编号为：7、14，共 2天；

所以李明需要配送的天数为

10 5 0 2 17   

，

所以整个

月李明不用去配送的天数是

30 17 13 

故选：B.

【典例 2】（2020·江苏扬州中学高一月考）已知集合

 

1, 2,3, 4, 5P

，若 A，B是P的两个非空子集，则

所有满足 A中的最大数小于 B中的最小数的集合对(A,B)的个数为（）

A．49 B．48 C．47 D．46

【答案】A

【解析】

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集合

 

1, 2,3, 4,5P

知：

1、若 A中的最大数为 1时，B中只要不含 1即可：

的集合为

{1}

，

而

有

2 1 15 

种集合，集合对(A,B)的个数为 15；

2、若 A中的最大数为 2时，B中只要不含 1、2即可：

的集合为

{2},{1, 2}

，而 B有

2 1 7 

种，

集合对(A,B)的个数为

2 7 14 

；

3、若 A中的最大数为 3时，B中只要不含 1、2、3即可：

的集合为

{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}

，而 B有

2 1 3 

种，

集合对(A,B)的个数为

4 3 12 

；

4、若 A中的最大数为 4时，B中只要不含 1、2、3、4即可：

的集合为

{4},{1, 4},{2, 4},{3, 4},{1, 2, 4},{1,3, 4},{2,3, 4},{1, 2,3, 4}

，

而B有

2 1 1 

种，集合对(A,B)的个数为

8 1 8 

；

∴一共有

15 14 12 8 49   

个，

故选：A

【规律方法】

分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词、关键元素和关键位置．

(1)根据题目特点恰当选择一个分类标准．

(2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不

同的方法，不能重复．

(3)分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏．

【变式探究】

1.（2019·内蒙古集宁一中高二月考（理））书架上有不同的语文书 10本，不同的英语书 7 本，不同的数

学书 5 本，现从中任选一本阅读，不同的选法有(　　)

A．22 种 B．350 种C．32 种 D．20种

【答案】A

【解析】

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