专题11 圆锥曲线的几何性质与应用（原卷版）

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专题 11 圆锥曲线的几何性质与应用
【压轴综述】
纵观近几年的高考命题，围绕圆锥曲线的几何性质与应用的高考压轴题，逐渐呈现“多样
化”，即离心率问题、渐近线问题、圆锥曲线中的三角形问题、求其它曲线的方程问题、
与平面向量相结合问题等.
在上述各类压轴题型中，圆锥曲线的离心率的求法是一类常见题型，也是历年高考考查的
热点，解题规律更易把握.求解圆锥曲线的离心率的值或取值范围，其关键是建立恰当的等
量或不等量关系，以过渡到含有离心率 e 的等式或不等式使问题获解．
1、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数
, ,a b c
的比例关系（只需
找出其中两个参数的关系即可），方法通常有两个方向：
（1）利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角
形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与
a
有关，另一条边
为焦距.从而可求解
（2）利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用
, ,a b c
进行表示，再利用条件列出等式求解
2、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：
（1）题目中某点的横坐标（或纵坐标）是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范
围有要求.如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用
, ,a b c
表示，且点坐
标的范围就是求离心率范围的突破口
（2）若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数
的值域即可
（3）通过一些不等关系得到关于
, ,a b c
的不等式，进而解出离心率
注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆：
 
0,1e
，
双曲线：
 
1,+e 
本专题通过例题说明各类问题解答规律与方法.
【压轴典例】
例 1.(2020·全国卷Ⅲ理科·T11)设双曲线 C: - =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,
离心率为 .P 是 C 上一点,且 F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为 4,则 a= (　　)
1
A.1 B.2 C.4 D.8
例 2.(2020·北京高考·T7)设抛物线的顶点为 O,焦点为 F,准线为 l,P 是抛物线上异于 O 的
一点,过 P 作 PQ⊥l 于 Q,则线段 FQ 的垂直平分线 (　　)
A.经过点 O　　　　　　　　B.经过点 P
C.平行于直线 OP D.垂直于直线 OP
例 3.(2020·全国卷Ⅰ高考理科·T4)已知 A 为抛物线 C:y2=2px(p>0)上一点,点 A 到 C 的焦
点的距离为 12,到 y 轴的距离为 9,则 p= (　　)
A.2 B.3 C.6 D.9
例 4.(2020·全国卷Ⅰ高考文科·T11)设 F1,F2是双曲线 C:x2- =1 的两个焦点,O 为坐标原
点,点 P 在 C 上且|OP|=2,则△PF1F2的面积为 (　　)
A. B.3 C. D.2
例5.(2020· 全 国 卷 Ⅲ 文科 ·T7 理 科 ·T5) 设 O 为 坐 标 原点 , 直 线 x=2 与 抛 物 线
C:y2=2px(p>0)交于 D,E两点,若 OD⊥OE,则 C 的焦点坐标为 (　　)
A. B. C.(1,0) D.(2,0)
例6.(2020·天津高考·T7)设双曲线 C 的方程为 - =1(a>0,b>0),过抛物线 y2=4x的焦点
和点(0,b)的直线为 l.若 C 的一条渐近线与 l 平行,另一条渐近线与 l 垂直,则双曲线 C 的方
程为 (　　)
A. - =1 B.x2- =1 C. -y2=1 D.x2-y2=1
例 7.（2019·全国高考真题）设
F
为双曲线
C
：
2 2
2 2
1
x y
a b
 
（
a
>0，
b
>0）的右焦点，
O
为
坐标原点，以
OF
为直径的圆与圆
x
2+
y
2=
a
2交于
P
、
Q
两点．若|
PQ
|=|
OF
|，则
C
的离心率为
（ ）
A．
2
B．
2
C．2 D．
5
例 8.(2020·全国卷Ⅰ高考理科·T15)已知 F 为双曲线 C: - =1(a>0,b>0)的右焦点,A 为 C
的右顶点,B 为 C 上的点,且 BF 垂直于 x轴.若 AB 的斜率为 3,则 C 的离心率为　　　　.
例9.(2020·全国卷Ⅲ文科·T14)设双曲线 C: - =1 (a>0,b>0)的一条渐近线为 y= x,则
C 的离心率为　　　　.
例10.（2019·全国高考真题（理））已知双曲线
C
：
2 2
2 2
1( 0, 0)
x y a b
a b
 
的左、右焦点
分别为
F
1，
F
2，过
F
1的直线与
C
的两条渐近线分别交于
A
，
B
两点．若
1
F A AB
              
，
1 2
0F B F B 
              
，则
C
的离心率为____________．
例 11. （2019·浙江高考真题）已知椭圆
2 2
1
9 5
x y
 
的左焦点为
F
，点
P
在椭圆上且在
x
轴的上方，若线段
PF
的中点在以原点
O
为圆心，
OF
为半径的圆上，则直线
PF
的斜
率是_______.
例 12.（2019·全国高考真题（理））设
1 2
F F，
为椭圆
2 2
: + 1
36 20
x y
C
的两个焦点，
M
为
C
上一点且在第一象限.若
1 2
MF F△
为等腰三角形，则
M
的坐标为___________.
【压轴训练】
1．（2021·浙江高三学业考试）如图，椭圆 的右焦点为 分
别为椭圆的上､下顶点， 是椭圆上一点， ，记椭圆的离心率为 ，
3
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