专题11 圆锥曲线的几何性质与应用（解析版）

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专题 11 圆锥曲线的几何性质与应用
【压轴综述】
纵观近几年的高考命题，围绕圆锥曲线的几何性质与应用的高考压轴题，逐渐呈现“多样
化”，即离心率问题、渐近线问题、圆锥曲线中的三角形问题、求其它曲线的方程问题、
与平面向量相结合问题等.
在上述各类压轴题型中，圆锥曲线的离心率的求法是一类常见题型，也是历年高考考查的
热点，解题规律更易把握.求解圆锥曲线的离心率的值或取值范围，其关键是建立恰当的等
量或不等量关系，以过渡到含有离心率 e 的等式或不等式使问题获解．
1、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数
, ,a b c
的比例关系（只需
找出其中两个参数的关系即可），方法通常有两个方向：
（1）利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角
形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与
a
有关，另一条边
为焦距.从而可求解
（2）利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用
, ,a b c
进行表示，再利用条件列出等式求解
2、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：
（1）题目中某点的横坐标（或纵坐标）是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范
围有要求.如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用
, ,a b c
表示，且点坐
标的范围就是求离心率范围的突破口
（2）若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数
的值域即可
（3）通过一些不等关系得到关于
, ,a b c
的不等式，进而解出离心率
注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆：
 
0,1e
，
双曲线：
 
1,+e 
本专题通过例题说明各类问题解答规律与方法.
【压轴典例】
例 1.(2020·全国卷Ⅲ理科·T11)设双曲线 C: - =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,
离心率为 .P 是 C 上一点,且 F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为 4,则 a= (　　)
1
A.1 B.2 C.4 D.8
【解析】选 A.设 PF1=m,PF2=n,m>n, = mn=4,m-n=2a,m2+n2=4c2,e= = ,所以 a=1.
例 2.(2020·北京高考·T7)设抛物线的顶点为 O,焦点为 F,准线为 l,P 是抛物线上异于 O 的
一点,过 P 作 PQ⊥l 于 Q,则线段 FQ 的垂直平分线 (　　)
A.经过点 O　　　　　　　　B.经过点 P
C.平行于直线 OP D.垂直于直线 OP
【解析】选 B.因为点 P 在抛物线上,所以|PQ|=|PF|,所以 FQ 的垂直平分线经过点 P.
例 3.(2020·全国卷Ⅰ高考理科·T4)已知 A 为抛物线 C:y2=2px(p>0)上一点,点 A 到 C 的焦
点的距离为 12,到 y轴的距离为 9,则 p= (　　)
A.2 B.3 C.6 D.9
【解析】选 C.设抛物线的焦点为 F,由抛物线的定义知|AF|=xA+ =12,即 12=9+ ,解得 p=6.
例 4.(2020·全国卷Ⅰ高考文科·T11)设 F1,F2是双曲线 C:x2- =1 的两个焦点,O 为坐标原
点,点 P 在 C 上且|OP|=2,则△PF1F2的面积为 (　　)
A. B.3 C. D.2
【解析】选 B.由已知,不妨设 F1(-2,0),F2(2,0),则 a=1,c=2,因为|OP|=2= |F1F2|,所以点 P
在以 F1F2为直径的圆上,即△F1F2P 是以 P 为直角顶点的直角三角形,故|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|
2,即|PF1|2+|PF2|2=16,又||PF1|-|PF2||=2a=2,
所以 4=||PF1|-|PF2||2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=16-2|PF1||PF2|,解得|PF1||PF2|=6,
所以 = |PF1||PF2|=3.
例5.(2020· 全 国 卷 Ⅲ 文科 ·T7 理 科 ·T5) 设 O 为 坐 标 原点 , 直线x=2 与 抛 物 线
C:y2=2px(p>0)交于 D,E两点,若 OD⊥OE,则 C 的焦点坐标为 (　　)
2
A. B. C.(1,0) D.(2,0)
【解析】选 B. 因为直线x=2 与抛物线 y2=2px(p>0)交于 D,E两点,且 OD⊥OE,根据抛物线的
对称性可以确定∠DOx=∠EOx= ,所以 D ,代入抛物线方程 4=4p,求得 p=1,所以其焦点坐
标为 .
例6.(2020·天津高考·T7)设双曲线 C 的方程为 - =1(a>0,b>0),过抛物线 y2=4x的焦点
和点(0,b)的直线为 l.若 C 的一条渐近线与 l 平行,另一条渐近线与 l 垂直,则双曲线 C 的方
程为 (　　)
A. - =1 B.x2- =1 C. -y2=1 D.x2-y2=1
【解析】选 D.由题可知,抛物线的焦点为(1,0),所以直线 l 的方程为 x+ =1,即直线的斜率
为 -b, 又双曲线的渐近线的方程为 y=± x, 所 以 -b=- ,-b×=-1, 因为 a>0,b>0, 解 得
a=1,b=1.所以双曲线 C 的方程为 x2-y2=1.
例 7.（2019·全国高考真题）设
F
为双曲线
C
：
2 2
2 2
1
x y
a b
 
（
a
>0，
b
>0）的右焦点，
O
为
坐标原点，以
OF
为直径的圆与圆
x
2+
y
2=
a
2交于
P
、
Q
两点．若|
PQ
|=|
OF
|，则
C
的离心率为
（ ）
A．
2
B．
C．2 D．
5
3
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