专题10.4 变量间的相关关系与统计案例（解析版）

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第十篇算法初步、统计与统计案例

专题 10.4 变量间的相关关系与统计案例

【考纲要求】

1.会作两个有关联变量的数据的散点图，并利用散点图认识变量间的相关关系．

2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．

3.了解常见的统计方法，了解回归分析的基本思想并能应用这些方法解决一些实际问题．

4.了解独立性检验(只要求 2×2 列联表)的基本思想、方法及其简单应用.

【命题趋势】

1.散点图与相关关系、线性回归方程与独立性检验在实际生活中的应用．

2.有关统计内容及方法主要以选择题、填空题的形式呈现，属容易题；抽样方法和各种统计图表与概率的

有关内容相结合或与统计案例相结合也会出现在解答题中，属中档题.

【核心素养】

本讲内容突出对数据分析，数学运算核心素养的考查.

【素养清单•基础知识】

1．相关关系与回归方程

(1)相关关系的分类

① 正相关：从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内．

② 负相关：从散点图上看，点散布在从左上角到右下角的区域内．

(2)线性相关关系

从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，

这条直线叫回归直线．

(3)回归方程

① 最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫最小二乘法．

② 回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归方程

为，其中b＝，a＝－b .

(，)称为样本点的中心．

(4)样本相关系数 r＝，用它来衡量两个变量间的线性相关关系的强弱．

① 当 r＞0 时，表明两个变量正相关；

② 当 r＜0 时，表明两个变量负相关；

③r 的绝对值越接近 1，表明两个变量的线性相关性越强；r 的绝对值越接近 0，表明两个变量的线性相关

性越弱，通常当>0.75 时，认为两个变量有很强的线性相关关系．

2．独立性检验

(1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这类变量称为分类变量．

(2)列联表：列出两个分类变量的频数表，称为列联表．假设有两个分类变量 X 和 Y，它们的可能取值分别

为和，其样本频数列联表(称为 2×2 列联表)如下：

y1y2总计

x1a b a＋b

x2c d c＋d

总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d

K2＝ (其中 n＝a＋b＋c＋d 为样本容量)，则利用独立性检验判断表来判断“X 与 Y 的关系”．

【素养清单•常用结论】

(1)求解回归方程的关键是确定回归系数a，b，应充分利用回归直线过样本中心点

(，)．

(2)根据 K2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若 K2越大，则两分类变量有关的把握越大．

(3)根据回归方程计算的y值，仅是一个预报值，不是真实发生的值．

【真题体验】

1．观察下列各图：

其中两个变量 x，y 具有相关关系的图是(　　)

A．①② B．①④

C．③④ D．②③

【答案】C　

【解析】由散点图知③④具有相关关系．

2．已知 x，y 的取值如下表，从散点图可以看出 y 与 x 线性相关，且回归方程为y＝0.95x＋a，则a＝(　

)

x0134

y 2.2 4.3 4.8 6.7

A.3.25 B．2.6

C．2.2 D．0

【答案】B　

【解析】由已知得x＝2，y＝4.5，因为回归方程经过点(x，y)，所以＝4.5－0.95×2＝2.6.

3．若回归直线方程为y＝2－1.5x，则变量 x 增加一个单位，y(　　)

A．平均增加 1.5 个单位

B．平均增加 2 个单位

C．平均减少 1.5 个单位

D．平均减少 2 个单位

【答案】C　

【解析】因为回归直线方程为＝2－1.5x，所以＝－1.5，则变量 x 增加一个单位，y 平均减少 1.5 个单

位．

4．在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是 (　　)

A．若 K2的观测值为 k＝6.635，我们有 99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在 100 个吸烟的人中必有

99 人患有肺病

B．从独立性检验可知，有 99%的把握认为吸烟与患肺病有关时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患

有肺病

C．若从统计量中求出有 95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有 5%的可能性使得推断出现错误

D．以上三种说法都不正确

【答案】C　

【解析】根据独立性检验的思想知 C 项正确．

【考法拓展•题型解码】

考法一　　相关关系的判断

归纳总结　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

判定两个变量正、负相关性的方法

(1)画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负

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