专题10.2 复数 2021年新高考数学一轮复习讲练测（讲）原卷版
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专题 10.2 复数
【考纲解读与核心素养】
1.复数的概念
(1)通过方程的解，认识复数．
(2)理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义．
2.复数的运算
掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义.
3．培养学生的数学运算、直观想象等核心数学素养.
4. 高考预测：
（1）复数的概念
（2）复数的四则运算
（3）复数的几何意义.
【知识清单】
1．复数的有关概念
(1)复数的概念：
形如
a
＋
b
i(
a
，
b
∈R)的数叫复数，其中
a
，
b
分别是它的实部和虚部．若
b
＝0，则
a
＋
b
i 为实数；若
b
≠0，则
a
＋
b
i 为虚数；若
a
＝0 且
b
≠0，则
a
＋
b
i 为纯虚数．
一个复数为纯虚数，不仅要求实部为 0，还需要求虚部不为 0.
(2)复数相等：
a
＋
b
i＝
c
＋
d
i⇔
a
＝
c
且
b
＝
d
(
a
，
b
，
c
，
d
∈R)．
(3)共轭复数：
a
＋
b
i 与
c
＋
d
i 共轭⇔
a
＝
c
，
b
＝－
d
(
a
，
b
，
c
，
d
∈R)．
(4)复数的模：
向量OZ的模
r
叫做复数
z
＝
a
＋
b
i(
a
，
b
∈R)的模，记作|
z
|或|
a
＋
b
i|，即|
z
|＝|
a
＋
b
i|＝.
2．复数的几何意义
(1)复数
z
＝
a
＋
b
i 复平面内的点
Z
(
a
，
b
)(
a
，
b
∈R)．
(2)复数
z
＝
a
＋
b
i(
a
，
b
∈R) 平面向量OZ.
3．复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设
z
1＝
a
＋
b
i，
z
2＝
c
＋
d
i(
a
，
b
，
c
，
d
∈R)，则
① 加法：
z
1＋
z
2＝(
a
＋
b
i)＋(
c
＋
d
i)＝(
a
＋
c
)＋(
b
＋
d
)i；
② 减法：
z
1－
z
2＝(
a
＋
b
i)－(
c
＋
d
i)＝(
a
－
c
)＋(
b
－
d
)i；
③ 乘法：
z
1·
z
2＝(
a
＋
b
i)·(
c
＋
d
i)＝(
ac
－
bd
)＋(
ad
＋
bc
)i；
④ 除法：＝＝＝＋i (
c
＋
d
i≠0)．
(2)复数加法的运算定律
设
z
1，
z
2，
z
3∈C，则复数加法满足以下运算律：
① 交换律：
z
1＋
z
2＝
z
2＋
z
1；
② 结合律：(
z
1＋
z
2)＋
z
3＝
z
1＋(
z
2＋
z
3)．
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[常用结论]
(1)(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i.
(2)－b＋ai＝i(a＋bi)．
(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)；
i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)．
(4)共轭与模是复数的重要性质，运算性质有：
(1)
1 2 1 2
z z z z
；(2)
1 2 1 2
z z z z
；(3)
2 2
z z z z
；(4)
1 2 1 2 1 2
z z z z z z
；
(5)
1 2 1 2
z z z z
；(6)
1
1
2 1
z
z
z z
.
***数的三角形式、运算及其几何意义
1．复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值
一般地，任何一个复数 z＝a＋bi都可以表示成 r(cos θ＋isin θ)的形式，其中，r是复数 z的模；θ是以 x轴
的非负半轴为始边，向量OZ所在射线(射线 OZ)为终边的角，叫做复数 z＝a＋bi的辐角，我们规定在 0≤θ＜
2π 范围内的辐角 θ的值为辐角的主值，通常记作 arg z．r(cos θ＋isin θ)叫做复数 z＝a＋bi的三角表示式，
简称三角形式．a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式．
2．复数三角形式的乘、除运算
若复数 z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，且 z1≠z2，则
(1)z1z2＝r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2)=
r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]
(2)＝
＝ [cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．
即：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和．
两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐
角所得的差.
【典例剖析】
高频考点一 ：复数的有关概念与性质
【典例 1】（2020·全国高三其他（文））若复数
2
1
zi
，则下列结论正确的是（ ）
A．
| | 2z
B．
z
的虚部为
i
C．
1z i
D．
2
2z i
【典例 2】（2020·浙江省高考真题）已知
a
∈R，若
a
–1+(
a
–2)
i
(
i
为虚数单位)是实数，则
a
=（ ）
A．1 B．–1 C．2 D．–2
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