专题10.1 统计 2021年新高考数学一轮复习讲练测（讲）解析版

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专题 10.1 统计

【考纲解读与核心素养】

1.抽样

(1)简单随机抽样

通过实例，了解简单随机抽样的含义及其解决问题的过程，掌握两种简单随机抽样方法：抽签法和随机数

法．会计算样本均值和样本方差，了解样本与总体的关系．

(2)分层随机抽样

通过实例，了解分层随机抽样的特点和适用范围，了解分层随机抽样的必要性，掌握各层样本量比例分配

的方法．结合具体实例，掌握分层随机抽样的样本均值和样本方差．

(3)抽样方法的选择

在简单的实际情境中，能根据实际问题的特点，设计恰当的抽样方法解决问题．

2.统计图表

能根据实际问题的特点，选择恰当的统计图表对数据进行可视化描述，体会合理使用统计图表的重要性．

3.用样本估计总体

(1)结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数)，理解集中趋势参数的统计含义．

(2)结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差)，理解离散程度参数的统计含义．

(3)结合实例，能用样本估计总体的取值规律.

4.成对数据的统计相关性

(1)结合实例，了解样本相关系数的统计含义．

(2)结合实例，会通过相关系数比较多组成对数据的相关性．

5.一元线性回归模型

(1)结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义，了解最小二乘原理，掌握一

元线性回归模型参数的最小二乘估计方法．

(2)针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测．

6.2×2 列联表

(1)通过实例，理解 2×2 列联表的统计意义．

(2)通过实例，了解 2×2 列联表独立性检验及其应用.

7.本节涉及所有的数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等.

8.高考预测：

（1）统计图表；

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（2）频率分布图、表及其应用；

（3）回归分析；

（4）独立性检验的应用

9.备考重点:

（1）抽样方法；

（2）频率分布图、表的应用；

（3）线性回归方程及其应用；

（4）独立性检验.

【知识清单】

知识点一．随机抽样与用样本估计总体

1．简单随机抽样

(1)定义：一般地，设一个总体含有

个个体，从中逐个不放回地抽取

个个体作为样本(

≤

)，如果每次

抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．这样抽取的样本，

叫做简单随机样本．

(2)常用方法：抽签法和随机数法．

2．分层抽样

(1)在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将

各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．

(2)分层抽样的应用范围

当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．

3．频率分布直方图

(1)纵轴表示，即小长方形的高＝；

(2)小长方形的面积＝组距×＝频率；

(3)各个小方形的面积总和等于 1.

4．频率分布表的画法

第一步：求极差，决定组数和组距，组距＝；

第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；

第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表．

5．条形图、折线图及扇形图

(1)条形图：建立直角坐标系，用横轴(横轴上的数字)表示样本数据类型，用纵轴上的单位长度表示一定

的数量，根据每个样本(或某个范围内的样本)的数量多少画出长短不同的等宽矩形，然后把这些矩形按照

一定的顺序排列起来，这样一种表达和分析数据的统计图称为条形图．

(2)折线图：建立直角坐标系，用横轴上的数字表示样本值，用纵轴上的单位长度表示一定的数量，根据

样本值和数量的多少描出相应各点，然后把各点用线段顺次连接，得到一条折线，用这种折线表示出样本

数据的情况，这样的一种表示和分析数据的统计图称为折线图．

(3)扇形图：用一个圆表示总体，圆中各扇形分别代表总体中的不同部分，每个扇形的大小反映所表示的

那部分占总体的百分比的大小，这样的一种表示和分析数据的统计图称为扇形图．

6．中位数、众数、平均数的定义

(1)中位数

将一组数据按大小依次排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中

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位数．

(2)众数

一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．

(3)平均数

一组数据的算术平均数即为这组数据的平均数，

个数据

1，

2，…，

的平均数＝(

1＋

2＋…＋

)．

7．样本的数字特征

如果有

个数据

1，

2，…，

，那么这

个数的

(1)标准差 .

(2)方差．

[常用结论]

1．频率分布直方图中的常见结论

(1)众数的估计值为最高矩形的中点对应的横坐标．

(2)平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．

(3)中位数的估计值的左边和右边的小矩形的面积和是相等的．

2．平均数、方差的公式推广

(1)若数据

1，

2，…，

的平均数为，则

1＋

，

2＋

，

3＋

，…，

mxn

＋

的平均数是

＋

(2)若数据

1，

2，…，

的方差为

2，则数据

1＋

，

2＋

，…，

axn

＋

的方差为

知识点二．变量间的相关关系与统计案例

1．变量间的相关关系

(1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是

一种非确定性关系．

(2)从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关；点散布在

左上角到右下角的区域内，两个变量的这种相关关系为负相关．

2．两个变量的线性相关

(1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具

有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．

(2)回归方程为y＝bx＋a，其中

  

 

1 1

22 2

1 1

n n

i i i i

i i

n n

i i

x x y y x y nxy

x x x nx

 

  

 

 

 

，

a y bx 

(3)通过求的最小值而得到回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小，这一方

法叫做最小二乘法．

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