专题10 圆锥曲线（教案）-2021届沪教版高考数学一轮复习（上海专用）

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2021 届高考数学一轮复习 专题 10 圆锥曲线 教案
知识归纳
名 称 椭圆 双曲线
图 象
定 义
平面内到两定点
21
,FF
的距离的和为
常数（大于
21
FF
）的动点的轨迹叫椭
圆
奎屯
王新敞
新疆
即
aMFMF 2
21
当2
a
2﹥
c
时，轨迹是椭圆，
当2
a
＝2
c
时 ， 轨 迹 是 一 条 线 段
21
FF
当2
a
2﹤
c
时，轨迹不存在
平面内到两定点
的距离的差的绝对值
为常数（小于
21
FF
）的动点的轨迹叫双曲
线. 即
当2
a
2﹤
c
时，轨迹是双曲线
当2
a
＝2
c
时，轨迹是两条射线
当2
a
2﹥
c
时，轨迹不存在
标 准
方 程
焦点在
x
轴上时：
1
2
2
2
2
b
y
a
x
焦点在
y
轴上时：
1
2
2
2
2
b
x
a
y
注：根据分母的大小来判断焦点在哪一
坐标轴上
焦点在
x
轴上时：
1
2
2
2
2
b
y
a
x
焦点在
y
轴上时：
1
2
2
2
2
b
x
a
y
常 数
cba ,,
的 关
系
222
bca
，
0ba
，
a
最大，
bcbcbc ,,
222
bac
，
0ac
c
最大，
bababa ,,
渐 近
线
焦点在
x
轴上时：
0
x y
a b
 
焦点在
y
轴上时：
0
y x
a b
 
1.椭圆的性质：椭圆方程
)0(1
2
2
2
2
ba
b
y
a
x
（1）范围：
byba,xa
，椭圆落在
by a，x
组成的矩形中。
（2）对称性：图象关于 y轴对称，图象关于 x轴对称，图象关于原点对称。
（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点
奎屯
王新敞
新疆
椭圆共有四个顶点：
a
，
)b,0(B),b,0(B
21
。
21 AA
叫椭圆的长轴，长为 2a，
21 BB
叫椭圆的短轴，长为 2b。
1
(4)点 是椭圆上任一点， 是椭圆的一个焦点，则 ，
.
(5)点 是椭圆上任一点，当点 在短轴端点位置时， 取最大值.
例题 1 （2020·上海奉贤高三二模）已知 为曲线 上位于第一象限内的点，
、 分别为 的两焦点，若 是直角，则点 坐标为________
【答案】
【解析】
曲线 是焦点在 轴上的椭圆，其中 ，则 ，得
，设 ， ，
因为 是直角，
所以 ，
解得 ，将 代入椭圆方程中得， ，解得 （负根舍去）
所以点的坐标为 ，故答案为：
2、点与椭圆位置关系
点 与椭圆 位置关系：（1）点 在椭圆内
（2）点 在椭圆上 （3）点 在椭圆
2
外
3、直线与椭圆位置关系
（1）直线与椭圆的位置关系及判定方法
位置关系 公共点 判定方法
相交 有两个公共点 直线与椭圆方程首
先应消去一个未知
数得一元二次方程
的根的判别式
相切 有且只有一个公共点
相离 无公共点
（2）弦长公式：设直线
y kx b 
交椭圆于
1 1 1 2 2 2
( , ), ( , )P x y P x y
则 ，或
( 0)k
例题 2．（2020·上海高三其他）已知椭圆 ： 的右焦点为 ，
短轴长为 2，过定点 的直线 交椭圆 于不同的两点 、 （点 在点 ， 之
间）.
（1）求椭圆 的方程；
（2）若 ，求实数 的取值范围；
（3）若射线 交椭圆 于点 （ 为原点），求 面积的最大值.
【答案】(1) ;(2) ;(3)
【解析】
(1)因为右焦点为 ,故.又短轴长为 2,故,解得
故椭圆 的方程：
(2)当直线 斜率不存在时, 直线 ,此时 ,故
3
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