专题10 数列与不等式的综合问题（解析版）

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专题 10 数列与不等式的综合问题
【压轴综述】
纵观近几年的高考命题，考查常以数列的相关项以及关系式，或数列的前 n 项和与第 n 项
的关系入手，结合数列的递推关系式与等差数列或等比数列的定义展开，求解数列的通项、
前 n 项和，有时与参数的求解、数列不等式的证明等加以综合．数列与不等式的结合,一般
有两类题:一是利用基本不等式求解数列中的最值;二是与数列中的求和问题相联系,证明不
等式或求解参数的取值范围,此类问题通常是抓住数列通项公式的特征,多采用先求和后利
用放缩法或数列的单调性证明不等式,求解参数的取值范围.
本专题通过例题说明此类问题解答规律与方法.
① 函数方法：即构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过对
关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式；
② 放缩方法：数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到；
③ 比较方法：作差或者作商比较．　
【压轴典例】
例1．（2020·全国高三专题练习）已知数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，
是以 为首项， 为公比的等比数列，设 ， ，则
当 时， 的最小值是（ ）
A．9 B．10
C．11 D．12
【答案】B
【详解】 是以 1为首项，2为公差的等差数列， ， 是以 1为首项，
2为公比的等比数列， ，
，
而 ，所以数列 是单调递增数列，
1
且 ， ， ，
，所以 ．所以当 时，n的最小值是 10．
例2．（2021·浙江绍兴市·高三期末）设 是无穷数列，若存在正整数 ，使得对任意
，均有 ，则称 是间隔递增数列， 是 的间隔数.若
是间隔递增数列，且最小间隔数是 3，则实数 的取值范围是（
）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】若 是间隔递增数列且最小间隔数是 3，则
， 成立，
则 ，对于 成立，且 对于 成立，即 ，
对于 成立，且 ，对于 成立，所以 ，且 ，解得
，
例 3.（2020·江西师大附中高考模拟）数列
 
n
a
中的项按顺序可以排成如图的形式，第一
行
1
项，排
1
a
；第二行
2
项，从左到右分别排
2
a
，
3
a
；第三行
3
项，……依此类推，设数
列
 
n
a
的前
n
项和为
，则满足
2019
n
S
的最小正整数
n
的值为（　　）
2
A．
20
B．
21
C．
26
D．
27
【答案】B
【解析】第一行为
4
，其和为
4
，可以变形为：
1
2 3 2T  
；第二行为首项为
4
，公比
为
3
的等比数列，共
2
项，其和为：
 
2
2
2
4 1 3 2 3 2
1 3
T
 
；第三行为首项为
4
，公比
为
3
的等比数列，共
3
项，其和为
 
3
3
3
4 1 3 2 3 2
1 3
T
 
；依此类推：第
n
行的和：
2 3 2
n
n
T 
；
则前
6
行共：
1 2 3 4 5 6 21  
个数前
6
行和为：
 
 
2 6 2 6 7
21
2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 3 3 12 3 15 2172S       
满足
2019
n
S
，而第六行的第
6
个数为：
5
4 3 972 
，则
20 21
972 1200 2019S S 
满足
2019
n
S
的最小正整数
n
的值为：
21
例4．（2020·长沙市·湖南师大附中高三）已知曲线 .从
点 向曲线 引斜率为 的切线 ，切点为 .则下列结论正确
的是（ ）
A．数列 的通项为 B．数列 的通项为
3
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