专题10 导数解答题的技巧和方法（2）（解析版）

3.0 envi 2025-04-11 5 4 1009.73KB 22 页 3知币

侵权投诉

专题 10 导数解答题的技巧和方法（2）

[高考定位] 高考中考查导数几何意义的题目多以选择题、填空题的形式出现，有时出现在解答题的第一问，

难度较小．高考重点考查导数的应用，即利用导数研究函数的单调性、极值、最值等，题目多出现在选择

题、填空题的后几题中，有时也出现在解答题中，难度中等．

考点一　导数的几何意义及定积分

[核心提炼]

1．导数的几何意义

函数 f(x)在x0处的导数是曲线 f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线 f(x)在点 P处的切线的斜率 k＝f′

(x0)，相应的切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．

2．4个易出错的导数公式

(1)(sin x)′＝cos x.

(2)(cos x)′＝－sin x.

(3)(ax)′＝axln a(a＞0，且 a≠1)．

(4)(logax)′＝(a＞0，且 a≠1，x＞0)．

[规律方法]

　曲线 y＝f(x)的切线方程的 3种类型及求解方法

(1)已知切点 P(x0，y0)，求切线方程：

求出切线的斜率 f′(x0)，由点斜式写出方程．

(2)已知切线的斜率 k，求切线方程：

设切点 P(x0，y0)，通过方程 k＝f′(x0)解得 x0，再由点斜式写出方程．

(3)已知切线上一点(非切点)，求切线方程：

设切点 P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率 f′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得 x0，再由

点斜式或两点式写出方程．

考点二　利用导数研究函数的单调性

[核心提炼]

　导数与函数单调性的关系

(1)f′(x)＞0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数 f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但 f′(x)≥0.

(2)f′(x)≥0 是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有 f′(x)＝0时，f(x)为常数函数，函数

不具有单调性．

[规律方法]

　求解或讨论函数单调性问题的解题策略

讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况．大多数情况下，这类问题可以归结为讨论含有参数

的一元二次不等式的解集：

(1)若能够通过因式分解求出不等式对应方程的根，则依据根的大小进行分类讨论．

(2)若不能通过因式分解求出不等式对应方程的根，则根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论．

[注意] 讨论函数的单调性需在函数的定义域内进行，千万不要忽视了定义域的限制．

考点三　利用导数研究函数的极值(最值)

[核心提炼]

导数与函数的极值、最值的关系

(1)若在 x0附近的左侧 f′(x)>0，右侧 f′(x)<0，则 f(x0)为函数 f(x)的极大值；若在 x0附近的左侧 f′(x)<0，右侧

f′(x)>0，则 f(x0)为函数 f(x)的极小值．

(2)设函数 y＝f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则 f(x)在[a，b]上必有最大值和最小值，且在极值点或

端点处取得.

[规律方法]

利用导数研究函数极值、最值的方法

(1)若求极值，则先求方程 f′(x)＝0的根，再检查 f′(x)在方程根的左右函数值的符号．

(2)若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程 f′(x)＝0根的大小或存在情况来求解．

(3)求函数 f(x)在闭区间[a，b]的最值时，先求出极值，再将区间端点的函数值 f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行

比较得到函数的最值．

【题型】

一．函数的单调性求参数

二．极值与参数

三．最值与参数

四．极值点偏移

五．恒成立问题求参数

【方法规律总结】

一．函数的单调性求参数

例1．已知函数

     

1 1

ln ln

2 2

x xf k kx x R    

（1）当

0k

时，求证：函数

 

f x

在

 





上单调递增；

（2）当

1k

时，讨论函数

 

f x

的零点的个数.

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】（1）

 

'n ln

f x x x

x x



  

，

令

   

ln ' 1x xg x g x x

    

，易得

 

g x

在





0,1

上递减，

 

1, 

上递增，

∴

     

min

1 1 0 ' 0g x g f x    

，∴函数

 

f x

在

 





上单调递增.

（2）

 

'l ln

1x k

xx x

fx x k

 

   

，由（1）知当

1k

时，方程

lnx x k 

有两个根

，

且易知

1 2

0 1x x  

，则

 

f x

在

 

0x，

上单调递增，在

 

1 2

,x x

上单调递减，在

 

,x

单调递增.

所以

为

 

f x

的极大值点，

为

 

f x

的极小值点.

显然

 

2 2 2

1 1 0

2 2

k k

f e e e

  

    

，

   

f x f 

，

∴

 

f x

在

 

0, x

仅有唯一零点.

又

 

2 2 2 2 2

1 1

2 2

nk nk nk

f e e n k nk e n k     

，（当

为较大的整数时），

设

 

h x e x 

，则

 

h x e x

 

，

 

h x e

  

当

1x

时，

 

0h x

 

，

 

h x e x

 

在

()

1 +¥，

单调递增,即

   

1 2 0h x h e

 

   

文档加载中……请稍候！
如果长时间未打开，您也可以点击刷新试试。

下载文档到电脑，查找使用更方便

3 知币 4人已下载

立即下载

专题10 导数解答题的技巧和方法（2）（解析版）.doc

共22页,预览5页

还剩页未读，继续阅读

专题10 导数解答题的技巧和方法（2）（解析版）

相关推荐

开通VIP享超值会员特权

作者详情

相关内容

推荐作者

热门标签

举报选择: