专题9—导数大题1-近8年高考真题分类汇编—2022届高三数学一轮复习

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专题 9—导数大题 1
考试说明：1、了解函数的单调性和导数的关系；能利用导数研究函
数的单调性，回求函数的单调区间；
2、了解函数在某点取得极值时的充要条件，会用导数求
函数的极值，会求闭区间上函数的最大值和最小值。
3、了解导数的综合应用
题型特点：导数的综合应用是历年高考的热点，试题难度通常较大，
多以压轴题的形式出现，命题的热点主要有利用导数研究函数的单
调性、极值、最值；利用导数研究不等式；利用导数研究方程的根；
利用导数研究恒成立问题等等，体现了分类讨论、数形结合、函数
与方程、转化与化归等数学思想的运用。
一、典例分析
命题角度 1—利用导数研究函数的单调性问题
例1．（2021•乙卷）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）求曲线 过坐标原点的切线与曲线 的公共点的坐标．
分析：（1）对函数 求导，分 及 讨论导函数与零的关系，进而得出 的
单调性情况；
（2）先设出切点，表示出切线方程，根据切线过原点，可求得切线方程，将切线方程与曲
线 联立，即可求得公共点坐标．
解答：解：（1） ，△ ，
①当△ ，即 时，由于 的图象是开口向上的抛物线，故此时 ，则
在 上单调递增；
②当△ ，即 时，令 ，解得 ，
令 ，解得 或 ，令 ，解得 ，
在 ， ， 单调递增，在 ， 单调递减；
综 上 ， 当 时 ， 在 上 单 调 递 增 ； 当 时 ， 在
1
单调递增，在 单调递减．
（2）设曲线 过坐标原点的切线为 ，切点为
，
则切线方程为 ，
将原点代入切线方程有， ，解得 ，
切线方程为 ，
令 ，即 ，解得 或 ，
曲线 过坐标原点的切线与曲线 的公共点的坐标为 和 ．
点评：本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论思想及运
算求解能力，属于中档题．
命题角度 2—利用导数研究函数的极值、最值问题
例2．（2019•全国）已知函数 ．
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）若 在区间 ， 的最小值为 ，求 ．
分析：（1）将 代入 中，然后求导，根据导函数的零点判断单调性导函数在各区
间上的符合，从而得到单调区间；
（2）对 求导后，根据导函数的零点分 ， ， 三类分别求出 的
最小值，让最小值等于 ，解出 ，然后判断是否符合条件即可．
解答：解：（1）当 时， ，
则 ，令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ．
的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；
2
（2） ，令 ，则 ，
当 时， ， 在 ， 上单调递增， ，不符合条
件；
当 时， ，则当 时， ；当 时， ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
， ，符合条件；
当 时， ，则当 时， ， 在 上单调递减，
， ，不符合条件．
在区间 ， 的最小值为 ， 的值为 ．
点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了分类讨论思想和分类法，属
中档题．
命题角度 3—利用导数研究函数的方程的根（或函数的零点）
例3．（2020•浙江）已知 ，函数 ，其中 为自然对数
的底数．
（Ⅰ）证明：函数 在 上有唯一零点；
（Ⅱ）记 为函数 在 上的零点，证明：
（ⅰ） ；
（ⅱ） ．
分析：（Ⅰ）推导出 时， 恒成立， ， （2） ，由此能
证明函数 在 上有唯一零点．
（ Ⅱ ） ， 从 而 ， 进 而 ， 令
3
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