专题9.8 离散型随机变量的均值与方差、正态分布（原卷版）

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第九篇

计数原理、概率与随机变量及其分布列

专题 9.08 离散型随机变量的均值与方差、正态分布

【考纲要求】

1.理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念．能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解

决一些实际问题．

2.利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义

【命题趋势】

1.正态分布主要通过正态分布的密度函数图象及性质进行考查．

2.离散型随机变量的分布列、均值、方差一般与排列、组合及古典概型、几何概型、二项分布及几何分布相结

合，以实际问题为背景进行考查.

【核心素养】

本讲内容突出对数学抽象，数学建模，数据分析核心素养的考查.

【素养清单•基础知识】

1．离散型随机变量的均值与方差

一般地，若离散型随机变量 X的分布列为

X x1x2…xi…xn

P p1p2…pi…pn

(1)均值

称E(X)＝__x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn_为随机变量 X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值

的平均水平．

(2)方差

称D(X)＝(xi－E(X))2pi为随机变量 X的方差，它刻画了随机变量 X与其均值 E(X)的平均偏离程度，其算术

平方根为随机变量 X的标准差．

2．均值与方差的性质

(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b(a，b为常数)．

(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)．

3．两点分布与二项分布的均值、方差

(1)若X服从两点分布，则 E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．

(2)若X～B(n，p)，则 E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．

4．正态分布

(1)正态曲线：函数 φμ，σ(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，其中实数 μ和σ为参数(σ>0，μ∈R)．我们

称函数 φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．

(2)正态曲线的性质

① 曲线位于 x轴上方，与 x轴不相交；

② 曲线是单峰的，它关于直线 x＝μ对称；

③ 曲线在 x＝μ处达到峰值；

④ 曲线与 x轴之间的面积为 1；

⑤当σ一定时，曲线的位置由 μ确定，曲线随着 μ的变化沿 x轴平移，如图甲所示；

⑥当μ一定时，曲线的形状由 σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越

“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．

(3)正态分布的定义及表示

一般地，如果对于任何实数 a，b(a<b)，随机变量 X满足 P(a<X≤b)＝，则称随机变量 X服

从正态分布，记作 X～N(μ，σ2)．

(4)正态分布在三个特殊区间内取值的概率值

①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826；

②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544；

③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974.

【真题体验】

1.【2019 年高考浙江卷】设 0＜a＜1，则随机变量 X的分布列是

则当 a在（0

，

1）内增大时，

A．增大 B．减小

C．先增大后减小 D．先减小后增大

2.【2019 年高考江苏卷】已知一组数据 6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是______________．

3．某射手射击所得环数 ξ的分布列如下：

ξ7 8 9 10

P x 0.1 0.3 y

已知 ξ的均值 E(ξ)＝8.9，则 y的值为(　　)

A．0.4 B．0.6

C．0.7 D．0.9

4．(2018·全国卷Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设 X为

该群体的 10 位成员中使用移动支付的人数，D(X)＝2.4，

P(X＝4)<P(X＝6)，则 p＝(　　)

A．0.7 B．0.6

C．0.4 D．0.3

5．随机变量 ξ的取值为 0,1,2.若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，则 D(ξ)＝__________.

6．投掷两枚骰子，当至少一枚5点或一枚6点出现时，就说这次试验成功，则在 10 次试验中成功次数的

均值为__________．

【2017 年高考全国Ⅰ卷理数】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机

抽取 16 个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产

的零件的尺寸服从正态分布．

（1）假设生产状态正常，记 X表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在之外的零件数，

求及的数学期望；

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的

生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；

（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸：

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