专题9.8 离散型随机变量的均值与方差、正态分布（解析版）

第九篇计数原理、概率与随机变量及其分布列

专题 9.08 离散型随机变量的均值与方差、正态分布

【考纲要求】

1.理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念．能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解

决一些实际问题．

2.利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义

【命题趋势】

1.正态分布主要通过正态分布的密度函数图象及性质进行考查．

2.离散型随机变量的分布列、均值、方差一般与排列、组合及古典概型、几何概型、二项分布及几何分布相结

合，以实际问题为背景进行考查.

【核心素养】

本讲内容突出对数学抽象，数学建模，数据分析核心素养的考查.

【素养清单•基础知识】

1．离散型随机变量的均值与方差

一般地，若离散型随机变量

X

的分布列为

X x

1

x

2…

xi

…

xn

P p

1

p

2…

pi

…

pn

(1)均值

称

E

(

X

)＝

x

1

p

1＋

x

2

p

2＋…＋

xipi

＋…＋

xnpn

为随机变量

X

的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值

的平均水平．

(2)方差

称

D

(

X

)＝(

xi

－

E

(

X

))2

pi

为随机变量

X

的方差，它刻画了随机变量

X

与其均值

E

(

X

)的平均偏离程度，其算术

平方根为随机变量

X

的标准差．

2．均值与方差的性质

(1)

E

(

aX

＋

b

)＝

aE

(

X

)＋

b

(

a

，

b

为常数)．

(2)

D

(

aX

＋

b

)＝

a

2

D

(

X

)(

a

，

b

为常数)．

3．两点分布与二项分布的均值、方差

(1)若

X

服从两点分布，则

E

(

X

)＝

p

，

D

(

X

)＝

p

(1－

p

)．

(2)若

X

～

B

(

n

，

p

)，则

E

(

X

)＝

np

，

D

(

X

)＝

np

(1－

p

)．

4．正态分布

1

(1)正态曲线：函数

φμ

，

σ

(

x

)＝，

x

∈(－∞，＋∞)，其中实数

μ

和

σ

为参数

(

σ

>0，

μ

∈R)．我们称函数

φμ

，

σ

(

x

)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．

(2)正态曲线的性质

① 曲线位于

x

轴上方，与

x

轴不相交；

② 曲线是单峰的，它关于直线

x

＝

μ

对称；

③ 曲线在

x

＝

μ

处达到峰值；

④ 曲线与

x

轴之间的面积为 1；

⑤ 当

σ

一定时，曲线的位置由

μ

确定，曲线随着

μ

的变化沿

x

轴平移，如图甲所示；

⑥ 当

μ

一定时，曲线的形状由

σ

确定，

σ

越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；

σ

越大，曲

线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．

(3)正态分布的定义及表示

一般地，如果对于任何实数

a

，

b

(

a

<

b

)，随机变量

X

满足

P

(

a

<

X

≤

b

)＝，则称随机变量

X

服从正态分布，记作

X

～

N

(

μ

，

σ

2)．

(4)正态分布在三个特殊区间内取值的概率值

①

P

(

μ

－

σ

<

X

≤

μ

＋

σ

)＝0.6826；

②

P

(

μ

－2

σ

<

X

≤

μ

＋2

σ

)＝0.9544；

③

P

(

μ

－3

σ

<

X

≤

μ

＋3

σ

)＝0.9974.

【真题体验】

1.【2019 年高考浙江卷】设0＜

a

＜1，则随机变量

X

的分布列是

则当

a

在（0

，

1）内增大时，

A．增大 B．减小

C．先增大后减小 D．先减小后增大

2

【答案】D

【分析】研究方差随变化的增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数表示，应用函数知识求解.本

题根据方差与期望的关系，将方差表示为的二次函数，二次函数的图象和性质解题．题目有一定综合性，

注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查．

【解析】方法1：由分布列得，

则，

则当在内增大时，先减小后增大．故选 D．

方法2：则，

则当在内增大时，先减小后增大．故选 D．

【名师点睛】易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计算能

力差，不能正确得到二次函数表达式．

2.【2019 年高考江苏卷】已知一组数据 6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是______________．

【答案】

【解析】由题意，该组数据的平均数为，

所以该组数据的方差是．

3．某射手射击所得环数

ξ

的分布列如下：

ξ

7 8 9 10

P x

0.1 0.3

y

已知

ξ

的均值

E

(

ξ

)＝8.9，则

y

的值为(　　)

A．0.4 B．0.6

C．0.7 D．0.9

3

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