专题9.7 条件概率、n次独立重复试验与二项分布（解析版）

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第九篇计数原理、概率与随机变量及其分布列

专题 9.07 条件概率、n次独立重复试验与二项分布

【考纲要求】

1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性．

2．理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用

【命题趋势】

利用排列、组合知识求解离散型随机变量的分布列，运用概率知识解决实际问题

【核心素养】

本讲内容突出对数学抽象，数学运算，数学建模的考查.

【素养清单•基础知识】

1．条件概率

(1)定义：设 A，B为两个事件，且 P(A)>0，称 P(B|A)＝为在事件 A发生的条件下，事件 B发生的条

件概率．

(2)性质：① 0≤P(B|A)≤1；②如果 B和C是两个互斥事件，则 P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．

2．事件的相互独立性

(1)定义：设 A，B为两个事件，如果 P(AB)＝P(A)·P(B)，则称事件 A与事件 B相互独立．

(2)性质：①若事件 A与B相互独立，则 P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)，P(AB)＝P(A)·P(B)．

② 如果事件 A与B相互独立，那么　A与　，　与 B　，　与　也都相互独立．

3．独立重复试验与二项分布

(1)独立重复试验

在__相同__条件下重复做的 n次试验称为 n次独立重复试验. Ai (i＝1,2，…，n)表示第 i次试验结果，则

P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)·…·P(An)．　

(2)二项分布

在n次独立重复试验中，用 X表示事件 A发生的次数，设每次试验中事件 A发生的概率是 p，此时称随机

变量 X服从二项分布，记作 X～B(n，p)，并称 p为成功概率．在 n次独立重复试验中，事件 A恰好发生 k

次的概率为 P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0，1,2，…，n)．

【真题体验】

【2019 年高考天津卷理数】设甲、乙两位同学上学期间，每天 7：30 之前到校的概率均为．假定甲、乙两

位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．

（1）用表示甲同学上学期间的三天中 7：30 之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；

（2）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在 7：30 之前到校的天数比乙同学在 7：30 之前到校的天

数恰好多 2”，求事件发生的概率．

【答案】（1）分布列见解析，；（2）．

【分析】本小题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等

基础知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．满分 13 分．

【解析】（1）因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天 7：30 之前到校的概率均为，故

，从而．

所以，随机变量的分布列为

0 1 2 3

随机变量的数学期望．

（2）设乙同学上学期间的三天中 7：30 之前到校的天数为，

则，且．

由题意知事件与互斥，

且事件与，事件与均相互独立，

从而由（1）知

．

2．一张储蓄卡的密码共有 6个数字，每位数字都可从 0～9中任选一个，某人忘记了密码的最后一位数字

但记得是偶数，则不超过 2次就按对的概率为__________．

【答案】

【解析】由题意知，此人在按最后一位数字时，有“0,2,4,6,8”5 种可能，所以此人按前两次的所有基本事件

有n＝A＝20(个)，不超过 2次就按对的基本事件为 m＝CA＝8(个)，

故P＝＝＝.

3．由 0,1 组成的三位编号中，若用 A表示“第二位数字为 0的事件”，用 B表示“第一位数字为 0的事

件”，则 P(A|B)＝__________.

【答案】

【解析】因为第一位数字可为 0或1，所以第一位数字为 0的概率 P(B)＝，第一位数字为 0且第二位数字也

是0，即事件 A，B同时发生的概率 P(AB)＝×＝，所以 P(A|B)＝＝＝.

4．甲、乙两名篮球运动员分别进行一次投篮，若两人投中的概率都是 0.6，则至少有一人投中的概率为___

_______．

【答案】 0.84

【解析】由题意可得，甲、乙未投中的概率均为 1－0.6＝0.4，故甲、乙两人分别进行一次投篮均未投中的概

率＝0.4×0.4＝0.16，故所求概率 P＝1－＝0.84.

5．国庆节放假，甲去北京旅游的概率为，乙去北京旅游的概率为.假定二人的行动相互之间没有影响，那

么这段时间内至少有 1人去北京旅游的概率为__________．

【答案】

【解析】记在国庆期间“甲去北京旅游”为事件 A，“乙去北京旅游”为事件 B，两人均不去的概率为 P( )

＝P()·P()＝[1－P(A)][1－P(B)]＝＝，甲、乙二人至少有一人去北京旅游的对立事件为甲、乙二人都不去北京

旅游，故所求概率为 1－P( )＝1－＝.

【考法拓展•题型解码】

考法一　　条件概率

解题技巧　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

条件概率的两种求解方法

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