专题9.6 离散型随机变量及其分布列（原卷版）
第九篇 计数原理、概率与随机变量及其分布列
专题 9.06 离散型随机变量及其分布列
【考纲要求】
1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性．
2．理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用
【命题趋势】
利用排列、组合知识求解离散型随机变量的分布列，运用概率知识解决实际问题
【核心素养】
本讲内容突出对数学抽象，数学运算，数学建模的考查.
【素养清单•基础知识】
1．随机变量的有关概念
(1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母
X
，
Y
，
ξ
，
η
，…表示 .
(2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量．
2．离散型随机变量分布列的概念及性质
(1)概念：若离散型随机变量
X
可能取的不同值为
x
1，
x
2，…，
xi
，…，
xn
，
X
取每一个值
xi
(
i
＝1,2，
…，
n
)的概率
P
(
X
＝
xi
)＝
pi
，以表格的形式表示如下：
X x
1
x
2…
xi
…
xn
P p
1
p
2…
pi
…
pn
此表称为离散型随机变量
X
的概率分布列，简称为
X
的分布列.有时也用等式
P
（
X
＝
xi
） ＝
pi
，
i
＝1，2，
…，
n
表示
X
的分布列.
(2)分布列的性质
①
pi
≥0，
i
＝1,2,3，…，
n
；②
i
＝1.
3．常见的离散型随机变量的分布列
(1)两点分布列
X
0 1
P
1－
p p
(2)超几何分布列
在含有
M
件次品的
N
件产品中，任取
n
件，其中恰有
X
件次品，则
P
(
X
＝
k
)＝，
k
＝0,1,2，…，
m
，其中
m
＝ min{
M
，
n
} ，且
n
≤
N
，
M
≤
N
，
n
，
M
，
N
∈ N *
.
X
0 1 …
m
1
P
…
若
X
是随机变量，则
Y
＝
aX
＋
b
(
a
，
b
为常数)也是随机变量．
表中第一行表示随机变量的取值；第二行对应变量的概率．
两点分布的试验结果只有两个可能性，其概率之和为 1.
超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：
(1)考察对象分两类；
(2)已知各类对象的个数；
(3)从中抽取若干个个体，考查某类个体数
X
的概率分布．
超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型.
m
＝min{
M
，
n
}的理解
m
为
k
的最大取值，当抽取的产品件数不大于总体中次品件数，即
n
≤
M
时，
k
(抽取的样本中次品的件数)
的最大值为
m
＝
n
；当抽取的产品件数大于总体中次品件数，即
n
＞
M
时，
k
的最大值为
m
＝
M
.
【真题体验】
1.【2019 年高考天津卷理数】设甲、乙两位同学上学期间，每天 7：30 之前到校的概率均为 ．假定甲、乙
两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．
（1）用 表示甲同学上学期间的三天中 7：30 之前到校的天数，求随机变量 的分布列和数学期望；
（2）设 为事件“上学期间的三天中，甲同学在 7：30 之前到校的天数比 乙同学在 7：30 之前到校的天
数恰好多2”，求事件 发生的概率．
2
2.【2019 年高考北京卷理数】改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主
要支付方式之一．为了解某校学生上个月 A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了
100 人，发现样本中 A，B两种支付方式都不使用的有 5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额
分布情况如下：
支付金额（元）
支付方式
（0，1000]（1000，2000]大于 2000
仅使用A18 人 9人3人
仅使用B10 人14 人 1人
（1）从全校学生中随机抽取 1 人，估计该学生上个月 A，B两种支付方式都使用的概率；
（2）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取 1 人，以
X
表示这2人中上个月支付金额大于 1000 元
的人数，求
X
的分布列和数学期望；
（3）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查 3 人，发现
他们本月的支付金额都大于 2000 元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于
2000 元的人数有变化？说明理由．
3.【2019 年高考全国Ⅰ卷理数】为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此
进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施
3
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