专题9.5 几何概型概率（原卷版）

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第九篇计数原理、概率与随机变量及其分布列

专题 9.05 几何概型概率

【考纲要求】

1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．

2.了解几何概型的意义

【命题趋势】

几何概型主要考查事件发生的概率与构成事件区域的长度、角度、面积、体积有关的实际问题，注重考查数

形结合思想和逻辑思维能力

【核心素养】

本讲内容突出对数学建模，数学运算的考查.

【素养清单•基础知识】

几何概型

(1)概念：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型

为几何概率模型，简称为几何概型.

(2)几何概型的基本特点：

① 试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；

② 每个基本事件出现的可能性相等.

(3)计算公式：

P(A)＝.

几何概型应用中的关注点

1关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率.

2确定基本事件时一定要选准度量，注意基本事件的等可能性.

【真题体验】

1．在区间(15,25]内的所有实数中随机抽取一个实数 a，则这个实数满足 17＜a＜20 的概率是(　　)

A. B.

C. D.

2．有一杯 2 L 的水，其中含有 1个细菌，用一个小杯从水中取 0.1 L 水，则小杯水中含有这个细菌的概率

为(　　)

A．0.01 B．0.02

C．0.05 D．0.1

3．已知 x是[－4,4]上的一个随机数，则使 x满足 x2＋x－2＜0的概率为(　　)

A. B.

C. D．0

4．某路公共汽车每 5 min 发车一次，某乘客到乘车点时刻是随机的，则他候车时间不超过 3 min 的概率是(

)

A. B.

C. D.

【考法拓展•题型解码】

考法一　　与长度、角度有关的几何概型

归纳总结　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(1)设线段 l是线段 L的一部分，向线段 L上任投一点，点落在线段 l上的概率 P＝.

(2)当涉及射线的转动，如扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用

线段代替，这是两种不同的度量手段．

【例 1】 (1)(2017·江苏卷)记函数 f(x)＝的定义域为 D.在区间[－4,5]上随机取一个数 x，则 x∈D的概率是____

______．

(2)(2016·全国卷Ⅰ)某公司的班车在 7：30,8：00,8：30 发车，小明在 7：50 至8：30 之间到达发车站乘坐班

车，且到达车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概率是(　　)

A. B.

C. D.

考法二　　与面积有关的几何概型

归纳总结　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

与面积有关的平面图形的几何概型，解题的关键是对所求的事件 A构成的平面区域形状的判断及面积的计

算，基本方法是数形结合．

【例 2】 (1)(2018·全国卷Ⅰ)如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，

三个半圆的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边 BC，直角边AB，AC.△ABC 的三边所围成的区域记为Ⅰ，

黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为

p1，p2，p3，则(　　)

A．p1＝p2 B．p1＝p3

C．p2＝p3 D．p1＝p2＋p3

(2)(2017·全国卷Ⅰ)如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白

色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是(　　)

A. B.

C. D.

考法三　　与体积有关的几何概型

归纳总结　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些

较复杂的也可利用其对立事件去求．

【例 3】 (1)在棱长为 2的正方体 ABCD－A1B1C1D1中，点 O为底面 ABCD 的中心，在正方体 ABCD－

A1B1C1D1内随机取一点 P，则点 P到点 O的距离大于1的概率为__________．

(2)在体积为 V的三棱锥 S－ABC 的棱AB 上任取一点 P，则三棱锥 S－APC 的体积大于的概率是__________．

【易错警示】

易错点　几何度量错误

【典例】如图所示，在等腰直角三角形 ABC 中，过直角顶点C在∠ACB 内部作一条射线 CM，与线段 AB 交

于点M.则AM<AC 的概率为__________．

【错解】：　在 AB 上取 AC′＝AC，在∠ACB 内部作射线 CM，则所求概率为＝＝.

【错因分析】：错误的原因在于选择的观察角度有问题，题目中的条件是过 C作射线 CM，错解中先在AB

上取点，将问题转化为长度之比，从而导致错误．

【答案】：

【正解】：在 AB 上取 AC′＝AC，则∠ACC′＝＝67.5°.

设事件 A＝{在∠ACB 内部作一条射线 CM，与线段 AB 交于点M，AM<AC}，则所有可能结果的区域角度

为90°，事件 A的区域角度为 67.5°.所以 P(A)＝＝(角度型)．

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