专题9.5 几何概型概率（解析版）

第九篇计数原理、概率与随机变量及其分布列

专题 9.05 几何概型概率

【考纲要求】

1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．

2.了解几何概型的意义

【命题趋势】

几何概型主要考查事件发生的概率与构成事件区域的长度、角度、面积、体积有关的实际问题，注重考查数

形结合思想和逻辑思维能力

【核心素养】

本讲内容突出对数学建模，数学运算的考查.

【素养清单•基础知识】

几何概型

(1)概念：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模

型为几何概率模型，简称为几何概型.

(2)几何概型的基本特点：

① 试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；

② 每个基本事件出现的可能性相等.

(3)计算公式：

P

(

A

)＝.

几何概型应用中的关注点

1关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率.

2确定基本事件时一定要选准度量，注意基本事件的等可能性.

【真题体验】

1．在区间(15,25]内的所有实数中随机抽取一个实数

a

，则这个实数满足 17＜

a

＜20 的概率是(　　)

A. B.

C. D.

【答案】C　

【解析】因为

a

∈(15,25]，所以

P

(17＜

a

＜20)＝＝.

2．有一杯 2 L 的水，其中含有 1 个细菌，用一个小杯从水中取 0.1 L 水，则小杯水中含有这个细菌的概率

为(　　)

A．0.01 B．0.02

1

C．0.05 D．0.1

【答案】C　

【解析】因为取水是随机的，而细菌在 2 L 水中的任何位置是等可能的，则小杯水中含有这个细菌的概率为

P

＝＝0.05.

3．已知

x

是[－4,4]上的一个随机数，则使

x

满足

x

2＋

x

－2＜0 的概率为(　　)

A. B.

C. D．0

【答案】B

【解析】

x

2＋

x

－2＜0⇒－2＜

x

＜1，则

P

＝＝.

4．某路公共汽车每 5 min 发车一次，某乘客到乘车点时刻是随机的，则他候车时间不超过 3 min 的概率是

(　　)

A. B.

C. D.

【答案】A　

【解析】此题可以看成向区间[0,5]内均匀投点，求点落入[2,5]内的概率．设

A

＝{某乘客候车时间不超过

3 min}．

则

P

(

A

)＝＝.

【考法拓展•题型解码】

考法一　　与长度、角度有关的几何概型

归纳总结　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(1)设线段

l

是线段

L

的一部分，向线段

L

上任投一点，点落在线段

l

上的概率

P

＝.

(2)当涉及射线的转动，如扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可

用线段代替，这是两种不同的度量手段．

【例 1】 (1)(2017·江苏卷)记函数

f

(

x

)＝的定义域为

D

.在区间[－4,5]上随机取一个数

x

，则

x

∈

D

的概率

是__________．

(2)(2016·全国卷Ⅰ)某公司的班车在 7：30,8：00,8：30 发车，小明在 7：50 至 8：30 之间到达发车站乘

坐班车，且到达车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概率是(　　)

A. B.

C. D.

【答案】 (1)　(2)B

【解析】 (1)由 6＋

x

－

x

2≥0，解得－2≤

x

≤3，则

D

＝[－2,3]，则所求概率为＝.

2

(2)由题意得图：

由图得等车时间不超过 10 分钟的概率为.

考法二　　与面积有关的几何概型

归纳总结　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

与面积有关的平面图形的几何概型，解题的关键是对所求的事件

A

构成的平面区域形状的判断及面积的计

算，基本方法是数形结合．

【例 2】 (1)(2018·全国卷Ⅰ)如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构

成，三个半圆的直径分别为直角三角形

ABC

的斜边

BC

，直角边

AB

，

AC

.△

ABC

的三边所围成的区域记为Ⅰ，

黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为

p

1，

p

2，

p

3，则(　　)

A．

p

1＝

p

2 B．

p

1＝

p

3

C．

p

2＝

p

3 D．

p

1＝

p

2＋

p

3

(2)(2017·全国卷Ⅰ)如图，正方形

ABCD

内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和

白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是(　　)

A. B.

C. D.

【答案】 (1)A　(2)B

【解析】 (1)设△

ABC

的三边

BC

，

AC

，

AB

的长分别为

a

，

b

，

c

，

则

a

2＝

b

2＋

c

2.则区域Ⅰ的面积

S

Ⅰ＝

bc

，

区域Ⅱ的面积

S

Ⅱ＝π2＋π2＋

bc

－π2＝π(

b

2＋

c

2－

a

2)＋

bc

＝

bc

，

区域Ⅲ的面积

S

Ⅲ＝π2－

bc

＝－

bc

.

由几何概型的概率公式可知

p

1＝

p

2，故选 A.

3

专题9.5 几何概型概率（解析版）

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