专题9.3 二项式定理（解析版）

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第九篇计数原理、概率与随机变量及其分布列

专题 9.03 二项式定理

【考纲要求】

1.能用计数原理证明二项式定理．

2.会用二项式定理解决与二项式展开式有关的简单问题

【命题趋势】

对二项式定理的考查，主要是利用通项求展开式的特定项及参数值．利用二项式定理展开式的性质求有关

系数等问题

【核心素养】

本讲内容主要考查公式的应用，体现数学运算，数学抽象，逻辑推理的核心素养.

【素养清单•基础知识】

1.二项式定理

(1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)；

(2)通项公式：Tk＋1＝Can－kbk，它表示第 k＋1项；

(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为 C ， C ，…， C .

2.二项式系数的性质

(1)项数为 n＋1.

(2)各项的次数都等于二项式的幂指数 n，即 a与b的指数的和为 n.

(3)字母 a按降幂排列，从第一项开始，次数由 n逐项减 1直到零；字母 b按升幂排列，从第一项起，次数

由零逐项增 1直到 n.

二项式系数与项的系数的区别

二项式系数是指 C，C，…，C，它只与各项的项数有关，而与 a，b的值无关；而项的系数是指该项中除

变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与 a，b的值有关.如(a＋bx)n的二项展开式中，第 k

＋1项的二项式系数是 C，而该项的系数是 Can－kbk.当然，在某些二项展开式中，各项的系数与二项式系数

是相等的.

【真题体验】

1.【2019 年高考全国Ⅲ卷理数】（1+2x2 ）（1+x）4的展开式中 x3的系数为

A．12 B．16 C．20 D．24

【答案】A

【解析】由题意得 x3的系数为，故选 A．

【名师点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．

2.【2019 年高考浙江卷理数】在二项式的展开式中，常数项是__________；系数为有理数的项的

个数是__________．

【答案】

【解析】由题意，的通项为，当时，可得常数项为

；若展开式的系数为有理数，则，有共 5个项．故答

案为：，．

【名师点睛】此类问题解法比较明确，首要的是要准确记忆通项公式，特别是“幂指数”不能记混，其次，

计算要细心，确保结果正确．

3．【2017 年高考全国Ⅰ卷理数】展开式中的系数为

A．15 B．20 C．30 D．35

【答案】C

【解析】因为，而展开式中含的项为，

展开式中含的项为，故所求展开式中的系数为，选 C．

【名师点睛】对于两个二项式乘积的问题，用第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项，分析含

的项共有几项，进行相加即可．这类问题的易错点主要是未能分析清楚构成这一项的具体情况，尤其是两

个二项展开式中的不同．

4．【2017 年高考全国Ⅲ卷理数】的展开式中的系数为

A． B． C．40 D．80

【答案】C

【解析】，由展开式的通项公式

可得：当时，展开式中的系数为；当

时，展开式中的系数为，则的系数为．故选

C．

【名师点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条

件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中 n和r的隐含条件，即 n，r均为

非负整数，且 n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的

项．（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．

5.【2019年高考江苏卷理数】设．已知．

（1）求n的值；

（2）设，其中，求的值．[来源:学。科。网Z。X。X。K]

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）因为，

所以，

．

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