专题9.2 排列与组合（原卷版）

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第九篇 计数原理、概率与随机变量及其分布列
专题 9.02 排列与组合
【考纲要求】
1.理解排列、组合的概念．
2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．
3.能用排列与组合解决简单的实际问题
【命题趋势】
两个计数原理与排列、组合的综合问题是高考的热点，以考查基本概念、基本方法
(如“含”“不含”问题、相邻问题、相间问题)为主，主要考查分类讨论思想、转化与化归思想、补集思想和
逻辑思维能力
【核心素养】
本讲内容体现对数学抽象，数学建模和数据分析素养的考查.
【素养清单•基础知识】
1.排列、组合的定义
排列的
定义
从
n
个不同元
素中取出
m
(
m
≤
n
)个元素
按照一定的顺序排成一列，叫做从
n
个不同元素中取出
m
个元
素的一个排列
组合的
定义
合成一组，叫做从
n
个不同元素中取出
m
个元素的一个组合
2.排列数、组合数的定义、公式、性质
排列数 组合数
定
义
从
n
个不同元素中取出
m
(
m
≤
n
，
m
，
n
∈N*)个元素的
所有不同排列的个数
从
n
个不同元素中取出
m
(
m
≤
n
，
m
，
n
∈N*)个元素的所有不同组
合的个数
公
式
A＝
n
(
n
－1)(
n
－2)…(
n
－
m
＋
1)＝
C＝
＝
性
质
A＝
n
！，0！＝1 C＝1，C＝C，C＋C＝C
1
【素养清单•常用结论】
正确理解组合数的性质
(1)C＝C：从
n
个不同元素中取出
m
个元素的方法数等于取出剩余
n
－
m
个元素的方法数.
(2)C＋C＝C：从
n
＋1 个不同元素中取出
m
个元素可分以下两种情况：①不含特殊元素
A
有 C 种方法；②含
特殊元素
A
有 C 种方法.
【真题体验】
1．用数字 1,2,3,4,5 组成的无重复数字的四位偶数的个数为(　　)
A．8 B．24
C．48 D．120
2．
A
，
B
，
C
，
D
，
E
五人并排站成一排，如果
B
必须在
A
的右侧(
A
，
B
可以不相邻)，那么不同的排法共有(
)
A．24 种 B．60 种
C．90 种 D．120 种
3．方程 3A＝2A＋6A 的解为__________．
4．已知－＝，则 C＝__________.
【考法拓展•题型解码】
考法一　　排列问题
答题模板　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　
(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊
元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．
(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的
常用方法．
【例 1】 (1)3 名男生，4 名女生，选其中 5 人排成一排，则有______种不同的排法．
(2)将某大学 4 名大四学生安排到某城市的甲、乙、丙、丁四所中学进行教学实习，要求每所学校都分一名学
生，且学生
A
不分到甲校，则不同的实习安排方案共有__________种．
考法二　　组合问题
归纳总结　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型．“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；
“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型，考虑逆向思维，用间接法处理．
2
【例 2】 (1)(2019·河南开封调研)某地实行高考改革，考生除参加语文、数学、英语统一考试外，还需从物
理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科．学生甲要想报考某高校的法学专业，就必须要从物理、
政治、历史三科中至少选考一科，则学生甲的选考方法种数为(　　)
A．6 B．12
C．18 D．19
(2)要从 12 人中选出 5 人去参加一项活动，
A
，
B
，
C
三人必须入选，则有__________种不同选法．
考法三　　排列组合的综合问题
答题模板　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　
利用先选后排法解决问题的三个步骤
【例 3】 从 0,1,2,3,4,5 这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为(　
)
A．300 B．216
C．180 D．162
考法四　　分组分配问题
解题技巧　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　
分组分配问题的处理策略
(1)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配，在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分
组；③部分均匀分组．注意各种分组类型中，不同分组方法的差异．
(2)对于相同元素的“分配”问题，常用的方法是采用“隔板法”．
【例 4】 (1)(2017·全国卷Ⅱ)安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，
则不同的安排方式共有(　　)
A．12 种 B．18 种
C．24 种 D．36 种
(2)(2017·浙江卷)从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队员 2 人组成 4 人服务队，
要求服务队中至少有 1 名女生，共有__________种不同的选法(用数字作答)．
【易错警示】
易错点　平均分组可能重复计算
3
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