专题9.2 排列与组合（解析版）

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第九篇计数原理、概率与随机变量及其分布列

专题 9.02 排列与组合

【考纲要求】

1.理解排列、组合的概念．

2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．

3.能用排列与组合解决简单的实际问题

【命题趋势】

两个计数原理与排列、组合的综合问题是高考的热点，以考查基本概念、基本方法

(如“含”“不含”问题、相邻问题、相间问题)为主，主要考查分类讨论思想、转化与化归思想、补集思想和

逻辑思维能力

【核心素养】

本讲内容体现对数学抽象，数学建模和数据分析素养的考查.

【素养清单•基础知识】

1.排列、组合的定义

排列的

定义

从n个不同元

素中取出

m(m≤n)个元素

按照一定的顺序排成一列，叫做从 n个不同元素中取出 m个元

素的一个排列

组合的

定义

合成一组，叫做从 n个不同元素中取出 m个元素的一个组合

2.排列数、组合数的定义、公式、性质

排列数组合数

定

义

从n个不同元素中取出

m(m≤n，m，n∈N*)个元素的

所有不同排列的个数

从n个不同元素中取出

m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同组

合的个数

公

式

A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋

1)＝

C＝

＝

性

质A＝n！，0！＝1 C＝1，C＝C，C＋C＝C

【素养清单•常用结论】

正确理解组合数的性质

(1)C＝C：从 n个不同元素中取出 m个元素的方法数等于取出剩余 n－m个元素的方法数.

(2)C＋C＝C：从 n＋1个不同元素中取出 m个元素可分以下两种情况：①不含特殊元素 A有C种方法；②

含特殊元素 A有C种方法.

【真题体验】

1．用数字 1,2,3,4,5 组成的无重复数字的四位偶数的个数为(　　)

A．8 B．24

C．48 D．120

【答案】C　

【解析】C×A＝2×4×3×2＝48.

2．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果 B必须在 A的右侧(A，B可以不相邻)，那么不同的排法共有(

)

A．24 种 B．60 种

C．90 种 D．120 种

【答案】B　

【解析】可先排 C，D，E三人，共有 A种，剩余 A，B两人只有一种排法．故满足条件的排法共有 A×1＝

60(种)．

3．方程 3A＝2A＋6A 的解为__________．

【答案】 5

【解析】由排列数公式可知

3x(x－1)(x－2)＝2(x＋1)x＋6x(x－1)，

因为 x≥3 且x∈N+，所以 3(x－1)(x－2)＝2(x＋1)＋6(x－1)，

即3x2－17x＋10＝0，(3x－2)(x－5)＝0，所以 x＝5.

4．已知－＝，则 C＝__________.

【答案】 28

【解析】由已知得 m的取值范围为{m|0≤m≤5，m∈Z}，有－＝，整理可得 m2－23m＋42＝0，解得 m＝21(舍

去)或m＝2.

故C＝C＝28.

【考法拓展•题型解码】

考法一　　排列问题

答题模板　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊

元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．

(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常

用方法．

【例 1】 (1)3 名男生，4名女生，选其中 5人排成一排，则有______种不同的排法．

(2)将某大学 4名大四学生安排到某城市的甲、乙、丙、丁四所中学进行教学实习，要求每所学校都分一名学

生，且学生 A不分到甲校，则不同的实习安排方案共有__________种．

【答案】 (1)2 520　(2)18

【解析】(1)问题即为从 7个元素中选出 5个全排出，有 A＝2 520 种排法．

(2)先将 A分配到乙校，再分配另外3个学生，有 A种方法，同理可得，将 A分配到丙丁各有A种，则共有

3A＝18(种)．

考法二　　组合问题

归纳总结　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型．“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不

含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．

(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型，考虑逆向思维，用间接法处理．

【例 2】 (1)(2019·河南开封调研)某地实行高考改革，考生除参加语文、数学、英语统一考试外，还需从物理、

化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科．学生甲要想报考某高校的法学专业，就必须要从物理、政治、

历史三科中至少选考一科，则学生甲的选考方法种数为(　　)

A．6 B．12

C．18 D．19

(2)要从 12 人中选出 5人去参加一项活动，A，B，C三人必须入选，则有__________种不同选法．

【答案】(1)D　(2)36

【解析】(1)方法一：在物理、政治、历史中选一科的选法有 CC＝9(种)；在物理、政治、历史中选两科的选法有

CC＝9(种)；物理、政治、历史三科都选的选法有 1种．所以学生甲的选考方法共有 9＋9＋1＝19(种)．故选

方法二：从六科中选考三科的选法有 C种，其中包括了没选物理、政治、历史中任意一科的选法，这种选法

有1种，因此学生甲的选考方法共有 C－1＝19(种)，故选 D.

(2)只需从A，B，C之外的9人中选择2人，即有 C＝36(种)选法．

考法三　　排列组合的综合问题

答题模板　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

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