专题9.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（原卷版）

3.0 envi 2025-04-11 24 4 134.5KB 7 页 3知币
侵权投诉
第九篇 计数原理、概率与随机变量及其分布列
专题 9.01 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
【考纲要求】
1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理．
2.会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题
【命题趋势】
利用计数原理、排列、组合知识求解排列、组合问题
【核心素养】
本讲内容能体现对数学抽象，数学建模和数据分析的考查.
【素养清单•基础知识】
两个计数原理
完成一件事的策略 完成这件事共有的方法
分类加法
计数原理　
有两类不同方案，在第 1 类方案中有
m
种不同的
方法，在第 2 类方案中有
n
种不同的方法
N
＝
m
＋
n
种不同的方法
分步乘法
计数原理　
需要两个步骤，做第 1 步有
m
种不同的方法，做
第 2 步有
n
种不同的方法
N
＝
m
×
n
种不同的方法
(1)每类方法都能独立完成这件事，它是独立的、一次的，且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完
成这件事.
(2)各类方法之间是互斥的、并列的、独立的.
(1)每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，只有各个步骤都完成了才能完成这件
事.
(2)各步之间是相互依存的，并且既不能重复也不能遗漏.
【素养清单•常用结论】
1.完成一件事可以有
n
类不同方案，各类方案相互独立，在第 1 类方案中有
m
1种不同的方法，在第 2 类方
案中有
m
2种不同的方法……在第
n
类方案中有
mn
种不同的方法.那么，完成这件事共有
N
＝
m
1＋
m
2＋…＋
mn
种不同的方法.
2.完成一件事需要经过
n
个步骤，缺一不可，做第 1 步有
m
1种不同的方法，做第 2 步有
m
2种不同的方
法……做第
n
步有
mn
种不同的方法.那么，完成这件事共有
N
＝
m
1×
m
2×…×
mn
种不同的方法.
【真题体验】
1．从 3 名女同学和 2 名男同学中选 1 人主持主题班会，则不同的选法种数为__________．
1
2．在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有__________个．　
3．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数
a
，
b
组成复数
a
＋
b
i，其中虚数有__________个．
4．(2019·滨州模拟)2018 年部分省市开始实行“3＋1＋2”高考模式，现有甲、乙两人从 4 门课程中选考 2
门，则甲、乙所选考的课程中恰有 1 门相同的选法有__________种．
【考法拓展•题型解码】
考法一　　分类加法计数原理
误区防范　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　
利用分类加法计数原理解题时的注意事项：
(1)根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏．
(2)分类时，注意完成这件事件的任何一种方法必须属于某一类，不能重复．
【例 1】 (1)高三一班有学生 50 人，男生 30 人，女生 20 人；高三二班有学生 60 人，男生 30 人，女生 30 人；
高三三班有学生 55 人，男生 35 人，女生 20 人．
① 从高三一班或二班或三班中选一名学生任学生会主席，有__________种不同的选法；
② 从高三一班、二班男生中，或高三三班女生中选一名学生任学生会体育部长，有__________种不同的选
法．
(2)如图，从
A
到
O
有__________种不同的走法(不重复过一点)．
(3)若椭圆＋＝1 的焦点在
y
轴上，且
m
∈{1,2,3,4,5}，
n
∈{1,2,3,4,5,6,7}，则这样的椭圆的个数为____
______．
考法二　　分步乘法计数原理
归纳总结　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　
(1)利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必
须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．
(2)分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成．
【例 2】 (1)(2016·全国卷Ⅱ)如图，小明从街道的
E
处出发，先到
F
处与小红会合，再一起到位于
G
处的
老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(　　)
A．24 B．18
2
C．12 D．9
(2)有六名同学报名参加三项智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则不同的报名方法有_____
_____种．
考法三　　两个计数原理的综合应用
误区防范　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　
利用两个计数原理解题时的注意事项
(1)认真审题，分析题目的条件、结论，特别要理解题目中所讲的“事情”是什么，完成这件事情的含义和
标准是什么．
(2)明确完成这件事情需要“分类”还是“分步”，还是既要“分类”又要“分步”，并搞清“分类”或
“分步”的具体标准是什么．
【例 3】 (2017·天津卷)用数字 1,2,3,4,5,6,7,8,9 组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，
这样的四位数一共有__________个(用数字作答)．
【例 4】 某班一天上午有 4 节课，每节都需要安排 1 名教师去上课，现从
A
，
B
，
C
，
D
，
E
，
F
这 6 名教师中
安排 4 人分别上一节课，第一节课只能从
A
，
B
两人中安排一个，第四节课只能从
A
，
C
两人中安排一人，
则不同的安排方案共有__________种．
【例 5】 如图，用 4 种不同的颜色对图中 5 个区域涂色(4 种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相
邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有__________种．
【易错警示】
易错点　两个计数原理混淆
【典例】 体育场南侧有 4 个大门，北侧有 3 个大门，某学生到该体育场练跑步，则他进出门的方案有(　
)
A．14 种 B．7种
C．24 种 D．49 种
【错解】：B　学生进出体育场大门需分两类，一类从南侧的 4 个门进，一类从北侧的 3 个门进，由分类加
法计数原理，共有 7种方案．
【错因分析】：错解中由于没有审清题意，误用计数原理．事实上，题目中不仅要考虑从哪个门进，还需考
虑从哪个门出，应该用分步乘法计数原理去解决．
3
专题9.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（原卷版）.doc

共7页,预览3页

还剩页未读， 继续阅读

相关推荐

更多
立即下载
作者：envi 分类：高中 价格：3知币 属性：7 页 大小：134.5KB 格式：DOC 时间：2025-04-11

开通VIP享超值会员特权

  • 多端同步记录
  • 高速下载文档
  • 免费文档工具
  • 分享文档赚钱
  • 每日登录抽奖
  • 优质衍生服务

作者详情

相关内容

更多

推荐作者

热门标签

大联考 高考地理 英语真题 听力 语法填空 石家庄 数学竞赛 读后续写 英语阅读 深圳中学
/ 7
评分 收藏
分享
立即下载
客服
关注