专题09二次函数的图象及性质（原卷版）【苏科版】

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2020 年中考数学必考经典题讲练案【苏科版】
专题 09 二次函数的图象及性质
【方法指导】
1. 二 次 函 数 的
图象和性质
图象
x
y
y
=
ax
2
+
+
c
(
a
＞0)
O
x
y
y
=
ax
2
+
bx
+
c
(
a
＜0)
O
开口 向上 向下
对 称
轴
x＝
顶 点
坐标
增 减
性
当x>时， y随x的增大而增
大；当 x＜ 时，y随x的增大而
减小.
当x>时， y随x的增大而减小；
当x＜ 时，y随x的增大而增大.
最值
x= ，y最小＝.x=，y最大＝.
2.系数 a、b、c
a
决定抛物线的开口
方向及开口大小
当a＞0时，抛物线开口向上；
当a＜0时，抛物线开口向下.
a
、
b决定对称轴（x=-
b/2a）的位置
当a，b同号，-b/2a＜0，对称轴在 y轴左边；
当b＝0时， -b/2a=0，对称轴为 y轴；
当a，b异号，-b/2a＞0，对称轴在 y轴右边．
c
决定抛 物线与 y轴
的交点的位置
当c＞0时，抛物线与 y轴的交点在正半轴上；
当c＝0时，抛物线经过原点 ；
当c＜0时，抛物线与 y轴的交点在负半轴上.
b2－
4ac
决定抛物线与 x轴
的交点个数
b2－4ac＞0时，抛物线与 x轴有 2个交点;
b2－4ac＝0时，抛物线与 x轴有 1个交点;
b2－4ac＜0时，抛物线与 x轴没有交点
3.平移 与解析 式
1
的关系
注意：二次函数的平移实质是顶点坐标的平移，因此只要找出原函数顶
点的平移方式即可确定平移后的函数解析式
4.二次 函数与 一
元二次方程
二次函 数 y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与 x轴交点的横坐标是一元二次方程
ax2+bx+c=0 的根.学科#网
当Δ＝b2－4ac＞0，两个不相等的实数根；
当Δ＝b2－4ac＝0，两个相等的实数根；
当Δ＝b2－4ac＜0，无实 根
5.二次 函数与 不
等式
抛物线 y= ax2＋bx＋c＝0在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应
的x的所有值就是不等式 ax2＋bx＋c＞0的解集 ；在 x轴下方的部分点
的纵坐标均为负，所对应的 x的值就是不等式 ax2＋bx＋c＜0的解集.
6.二次 函数的 应
用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类
题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，
实际问题中自变量 x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的
最值时，一定要注意自变量 x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的
最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
【题型剖析】
【类型 1】二次函数的性质
【例 1】（2019•苏州模拟）已知二次函数 y＝ax2+bx+c，其函数 y与自变量 x之间的部分对应值如下表所示：
则可求得 （4a﹣2b+c）的值是（　　）
x…﹣1 2 3 …
y…0 0 4 …
A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4
【变式 1-1】（2019•雨花区校级模拟）抛物线 y＝a（x+2m）2+m（a≠0）的顶点，当 m取不同实数时，其
顶点在下列（　　）上移动．
A．yB．y＝2xC．yD．y
2
【变式 1-2】（2019•老河口市模拟）已知点 A（﹣3，y1），B（2，y2）均在抛物线 y＝ax2+bx+c上，点
P（m，n）是该抛物线的顶点，若 y1＞y2≥n，则 m的取值范围是（　　）
A．﹣3＜m＜2 B．C．mD．m＞2
【类型 2】二次函数的图象
【例 2】（2019•灌云县校级模拟）在同一平面直角坐标系中，一次函数 y＝kx﹣2k和二次函数 y＝﹣kx2+2x
﹣4（k是常数且 k≠0）的图象可能是（　　）
【变式 1-1】（2019•无锡模拟）已知函数 ，则使 y＝k成立的 x值恰好有 4个，则
k的值可能为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．3
【变式 1-2】（2019•如皋市模拟）如图，在同一坐标系下，一次函数 y＝ax+b与二次函数 y=ax2+bx+4 的图
像大致可能是（ ）
【类型 3】二次函数图象与系数 a、b、c 之间的关系
【例 3】（2019•港南区四模）已知二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列 5个结论：①abc＞
0；②b＜a+c；③当x＜0时，y随x的增大而增大；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（其中 m≠1）其
中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3
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