专题09 数列中不等式恒成立问题（原卷版）

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专题 09 数列中不等式恒成立问题

【压轴综述】

纵观近几年的高考命题，考查常以数列的相关项以及关系式，或数列的前 n 项和与第 n 项

的关系入手，结合数列的递推关系式与等差数列或等比数列的定义展开，求解数列的通项、

前 n 项和，有时与参数的求解、数列不等式的证明等加以综合．数列中不等式恒成立问题，

是数列不等式的综合应用问题的命题形式之一. 主要有两类：一是证明不等式恒成立，二

是由不等式恒成立确定参数的值（范围）. 以数列为背景的不等式恒成立问题,或不等式的

证明问题,多与数列求和相联系,最后利用函数的单调性求解,或利用放缩法证明.

本专题通过例题说明此类问题解答规律与方法.

(1)数列与不等式的综合问题，如果是证明题，要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、

综合法、分析法、放缩法等；如果是解不等式，往往采用因式分解法或穿根法等．

(2)如用放缩法证明与数列求和有关的不等式，一般有两种方法：一种是求和后再放缩；一

种是放缩后再求和．放缩时，一要注意放缩的尺度，二要注意从哪一项开始放缩．

【压轴典例】

例1．（2021·新疆高三其他模拟）若是函数

的极值点，数列满足，，设，记表示不超过的最大

整数.设，若不等式对恒成立，则实数的

最大值为（）

A．B．C．D．

例2．（2020·全国高三专题练习）（多选）已知数列中，，

，.若对于任意的，不等式

恒成立，则实数可能为（）

A．－4 B．－2 C．0 D．2

【答案】AB

例3．（2020·嘉兴市第五高级中学高三）设，若数列是无穷数列，且满足对任

意实数不等式恒成立，则下列选项正确的是（）

A．存在数列为单调递增的等差数列 B．存在数列为单调递增的等比数列

C．恒成立 D．

例4．（2021·江苏高三一模）已知等差数列满足 .

（1）求数列的通项公式；

（2）记数列的前 n项和为 .若， (为偶数)，求的

值.

例5．（2021·天津滨海新区·高三）已知数列是公差不为 0的等差数列，，数

列是等比数列，且，，，数列的前 n项和为 .

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求的前 n项和；

（3）若对恒成立，求的最小值.

例 6.（2019·浙江高考真题）设等差数列

{ }

的前

项和为

，

4a

，

4 3

a S

，数列

{ }

满足：对每

1 2

, , ,

n n n n n n

n S b S b S b



 

   N

成等比数列.

（1）求数列

{ },{ }

n n

a b

的通项公式；

（2）记

, ,

C n



 N

证明：

1 2

+ 2 , .

C C C n n



    N

例 7

(2019·江苏高考·T20)定义首项为 1 且公比为正数的等比数列为“

-数列”

(1)已知等比数列{

}(

∈N

)满足:

3-4

2+4

1=0,求证:数列{

}为“

-数列”

(2)已知数列{

}(

∈N

)满足:

1=1, = - ,其中

为数列{

}的前

项和

① 求数列{

}的通项公式

② 设

为正整数,若存在“

- 数列 ” {

}(

∈N

),对任意正整数

, 当

≤

时 , 都有

≤

+1 成立,求

的最大值

例 8.（2020·河北石家庄高考模拟）已知等比数列

 

满足

1, 2 3 4

n n

a a a a a



   

，

且

2a

是

2 4

,a a

的等差中项.

 

求数列

 

的通项公式；

 

若

1 ,

log

n n n

b a a

1 2 ···+b

n n

S b b  

，对任意正整数

，

 

n n

S n m a



  

恒成

立，试求

的取值范围.

例 9.（2020·江苏镇江高考模拟）已知在数列{an}中，设 a1为首项，其前 n 项和为 Sn，若

对任意的正整数 m，n 都有不等式 S2m+S2n＜2Sm+n（m≠n）恒成立，且 2S6＜S3．

（1）设数列{an}为等差数列，且公差为 d，求

的取值范围；

（2）设数列{an}为等比数列，且公比为 q（q＞0 且 q≠1），求 a1



q 的取值范围．

例 10.（2020·山东高考模拟）已知单调等比数列

 

中，首项为

，其前 n 项和是

，

且

3 3 5 4 4

1, ,

2a S S a S 

成等差数列,数列

 

满足条件

 

1 2 3 n

12 .

a a a a 



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