专题09 数列中不等式恒成立问题（解析版）

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专题 09 数列中不等式恒成立问题
【压轴综述】
纵观近几年的高考命题，考查常以数列的相关项以及关系式，或数列的前 n 项和与第 n 项
的关系入手，结合数列的递推关系式与等差数列或等比数列的定义展开，求解数列的通项、
前 n 项和，有时与参数的求解、数列不等式的证明等加以综合．数列中不等式恒成立问题，
是数列不等式的综合应用问题的命题形式之一. 主要有两类：一是证明不等式恒成立，二
是由不等式恒成立确定参数的值（范围）. 以数列为背景的不等式恒成立问题,或不等式的
证明问题,多与数列求和相联系,最后利用函数的单调性求解,或利用放缩法证明.
本专题通过例题说明此类问题解答规律与方法.
(1)数列与不等式的综合问题，如果是证明题，要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、
综合法、分析法、放缩法等；如果是解不等式，往往采用因式分解法或穿根法等．
(2)如用放缩法证明与数列求和有关的不等式，一般有两种方法：一种是求和后再放缩；一
种是放缩后再求和．放缩时，一要注意放缩的尺度，二要注意从哪一项开始放缩．
【压轴典例】
例1．（2021·新疆高三其他模拟）若 是函数
的极值点，数列 满足 ， ，设 ，记 表示不超过 的最大
整数.设 ，若不等式 对 恒成立，则实数 的
最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】 ，∴ ，即有
，∴ 是以 2为首项 3为公比的等比数列，∴
，
1
∴ ∴
，又 为增函数，当 时，
， ，若 恒成立，则 的最大值为 1010.
例2．（2020·全国高三专题练习）（多选）已知数列 中， ，
，.若对于任意的 ，不等式
恒成立，则实数 可能为（ ）
A．－4 B．－2 C．0 D．2
【答案】AB
【详解】 ， ，则
， ， ， ，上述式子
累加可得： ， ， 对于任
意的 恒成立，整理得 对于任意的 恒成立，对 A，
2
当 时，不等式 ，解集 ，包含 ，故 A正确；对 B，
当 时，不等式 ，解集 ，包含 ，故 B正确；对 C，
当 时，不等式 ，解集 ，不包含 ，故 C错误；对 D，当
时，不等式 ，解集 ，不包含 ，故 D错误，
例3．（2020·嘉兴市第五高级中学高三）设 ，若数列 是无穷数列，且满足对任
意实数 不等式 恒成立，则下列选项正确的是（ ）
A．存在数列 为单调递增的等差数列 B．存在数列 为单调递增的等比数列
C． 恒成立 D．
【答案】D
【详解】因为 ， ，当 时， ，解得
。当 时，因为 ，所以 ，解得 。
因为无穷数列 ，对任意实数 不等式 恒成立，所以 。
对选项 A，若 为单调递增的等差数列，设 ， ，则
，故 A错误；对选项 B，若 为单调递增的等比数列，设 ，
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