专题09 19.9 勾股定理-2020-2021学年初中数学截拳道（沪教版）

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19.9 勾股定理
学习目标
理解用面积割补方法证明勾股定理的思路；感受人类文明的力量，了解中国古代在勾股定理方
面的成就，知道勾股定理在人类重大科技发现中的地位；能用勾股定理解决基本的有关证明和计
算问题；初步掌握勾股定理，并能进行简单运用；通过实际问题的解决增强对数学的学习兴趣。
知识概要
1.直角三角形的三边关系
定理：在直角三角形中，斜边大于直角边。
2.勾股定理
直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方(即： )。
勾股定理反映了直角三角形三边之间的数量关系，因此是直角三角形的性质定理。它为利用计
算的方法研究几何图形的性质提供了新的途径。在直角三角形中，只要知道任意的两边长，就
能求出第三边的长，但要注意区分直角边、斜边。
3.勾股定理的逆定理
如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形。
运用逆定理判定三角形是否为直角三角形的步骤：(1)首先确定最大边，不妨设为 。(2)验证
与 是否具有相等关系。若 ，则 是以 为直角的三角形。(若
，则 是钝角三角形，若 ，则 是锐角三角形)
4.勾股数组
如果正整数 满足 ，那么 叫做勾股数组。以勾股数组的三个数分别为各边
长的三角形是直角三角形。常见的勾股数组有： ， ， ， ，
。
(一)利用勾股定理简单计算
例1.如图，在 中， 90°，20，15， 是 的高。求：(1) 的
长度；(2) 的长度。
25, 12
试一试：若直角三角形两直角边的比是 3:4，斜边长是 20，求此直角三角形的面积。
例2.如图，在 中， 30°，60°，若 ，求 的长。
试一试：等边三角形的边长为 ，求它的面积。
(二)勾股定理的应用
例3.如图，在 中， 15，14， ，求 的面积。
试一试：如图，在 中， 90°， 平分 ，交 于点 ， 26，
10，5:3.
求点 到 的距离。
例4.如图，在四边形 中， 60°，90°，1，2，求对角线
的长。
试一试：如图，有一张直角三角形纸片，两直角边 6cm，8cm，将 折叠，使点 与点
重合，折痕为 ，求 的长。
例5.一只壁虎在一底面半径为 2m，高为 4m的油桶下边缘 处，发现油桶的上边缘 处有一只害虫，便决定
捕捉它(点在 点正上方).为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油桶爬行，沿一条螺
2
旋线路，从背后对害虫进行突袭，结果偷袭成功，壁虎获得了一顿每餐。壁虎至少要爬行多少路程才能
不做到害虫?(结果保留 )
(三)勾股定理的逆定理
例6.如图，在四边形 中， 90°，2，1， ，求四边形的面积。
试一试：一个直角三角形三边的长分别为 1， ， 3，求它最长边上的高。
例7.如图所示的一块地， 90°，12m，9m，39m，36m，求这块地的面
积。
216m2
试一试：如图，已知三角形 ， 8，10，6。
(1)判断三角形 是什么三角形?
(2)用尺规作图法作出边 的垂直平分线，交 于点 ，交 于点 ；
(3)连接 ，求 的长。
6.25
(四)勾股定理及其逆定理的应用
3
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