专题8.09 直线与圆锥曲线的位置关系（解析版）

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第八篇 平面解析几何
专题 8.09 直线与圆锥曲线的位置关系
【考纲要求】
1.掌握直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系的解题方法．
2.理解数形结合的思想．
3.了解圆锥曲线的简单应用
【命题趋势】
1.直线与圆锥曲线位置关系的讨论．
2.直线与圆锥曲线中有关弦长的问题．
3.圆锥曲线中有关中点弦、对称的问题.
【核心素养】
本讲内容主要考查数学运算和直观想象的核心素养
【素养清单•基础知识】
1．直线与圆锥曲线的位置关系
(1)从几何角度看，可分为三类：无公共点、仅有一个公共点以及有两个相异的公共点_
(2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判
断．设直线
l
的方程为
Ax
＋
By
＋
C
＝0，圆锥曲线方程为
f
(
x
，
y
)＝0.
由消元(如消去
y
)，得
ax
2＋
bx
＋
c
＝0.
① 若
a
＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线
l
与双曲线的渐近线平行；当圆锥曲线是抛物线时，直线
l
与抛
物线的对称轴平行(或重合)．
② 若
a
≠0，设
Δ
＝
b
2－4
ac
.
当
Δ
＞0 时，直线和圆锥曲线相交于不同的两点；
当
Δ
＝0 时，直线和圆锥曲线相切于一点；
当
Δ
＜0 时，直线和圆锥曲线没有公共点．
2．直线与圆锥曲线相交时的弦长问题
(1)斜率为
k
的直线与圆锥曲线交于两点
P
1(
x
1，
y
1)，
P
2(
x
2，
y
2)，则所得弦长：
＝＝
＝
＝.
(2)斜率不存在时，可求出交点坐标，直接求解(利用坐标轴上两点间距离公式)．
3．圆锥曲线的中点弦问题
1
遇到弦中点问题常用“点差法”或“根与系数的关系”求解．
在椭圆＋＝1 中，以
P
(
x
0，
y
0)为中点的弦所在直线的斜率
k
＝－；在双曲线－＝1 中，以
P
(
x
0，
y
0)为中点
的弦所在直线的斜率
k
＝；在抛物线
y
2＝2
px
(
p
>0)中，以
P
(
x
0，
y
0)为中点的弦所在直线的斜率
k
＝.在使用
根与系数的关系时，要注意使用条件是
Δ
≥0.
4．(1)直线
y
＝
kx
＋
m
表示过点(0，
m
)且不包括垂直于
x
轴的直线，故设直线
y
＝
kx
＋
m
时，必须先讨论过
点(0，
m
)且垂直于
x
轴的直线是否符合题设要求．
(2)直线
x
＝
my
＋
n
表示过点(
n,
0)且不包括垂直于
y
轴的直线，故设直线
x
＝
my
＋
n
时，必须先讨论过点
(
n,
0)且垂直于
y
轴的直线是否符合题设要求．
注：过
y
轴上一点(0，
m
)的直线通常设为
y
＝
kx
＋
m
；过
x
轴上一点(
n,
0)的直线通常设为
x
＝
my
＋
n
.
【真题体验】
1．【2019 年高考全国Ⅰ卷理数】已知抛物线 C：y2=3x的焦点为 F，斜率为
3
2
的直线 l与C的交点为 A，B，
与x轴的交点为 P．
（1）若|AF|+|BF|=4，求 l的方程；
（2）若
3AP PB
              
，求|AB|．
【答案】（1） ；（2）.
【解析】设直线 ．
（1）由题设得 ，故 ，由题设可得 ．
由 ，可得 ，则 ．
从而 ，得 ．
所以 的方程为 ．
2
（2）由 可得 ．
由 ，可得 ．
所以 ．从而 ，故 ．
代入 的方程得 ．
故 ．
【名师点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及平面向量、弦长的求解方法，
解题关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，利用根与系数的关系构造等量关系.
2．【2019 年高考全国Ⅱ卷理数】已知点 A(−2，0)，B(2，0)，动点M(x，y)满足直线 AM 与BM 的斜率之积为
−.记M的轨迹为曲线 C.
（1）求 C的方程，并说明 C是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交 C于P，Q两点，点 P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE 并延长交 C于
点G.
（i）证明： 是直角三角形；
（ii）求 面积的最大值.
【答案】（1）见解析；（2）（i）见解析；（ii）.
【解析】（1）由题设得 ，化简得 ，所以 C为中心在坐标原点，焦
点在 x轴上的椭圆，不含左右顶点．
（2）（i）设直线 PQ 的斜率为 k，则其方程为 ．
3
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