专题8.08 轨迹方程的求法（原卷版）

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第八篇 平面解析几何
专题 8.08 轨迹方程的求法
【考纲要求】
了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系
【命题趋势】
求满足条件的动点轨迹及轨迹方程，用直接法和定义法较为普遍.
【核心素养】
本讲内容主要考查数学建模、数学运算的核心素养.
【素养清单•基础知识】
1．曲线与方程
一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线
C
上的点与一个二元方程
f
(
x
，
y
)＝0 的实数解建立了如下关系：
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲
线.
2．求动点轨迹方程的一般步骤
(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(
x
，
y
)表示曲线上任意一点
M
的坐标；
(2)写出适合条件
p
的点
M
的集合
P
＝{
M
|
p
(
M
)}；
(3)用坐标表示条件
p
(
M
)，列出方程
f
(
x
，
y
)＝0；
(4)化方程
f
(
x
，
y
)＝0 为最简形式；
(5)说明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．
(1)如果曲线
C
的方程是
f
(
x
，
y
)＝0, 那么点
P
0(
x
0，
y
0)在曲线
C
上的充要条件是
f
(
x
0，
y
0)＝0.
(2)“曲线
C
是方程
f
(
x
，
y
)＝0 的曲线”是“曲线
C
上的点的坐标都是方程
f
(
x
，
y
)＝0 的解”的充分不必
要条件.
坐标系建立的不同，同一曲线在不同坐标系中的方程也不同，但它们始终表示同一曲线．
有时此过程可根据实际情况省略，直接列出曲线方程．
【真题体验】
1.．到点
O
(0,0)，
A
(
c,
0)距离的平方和为常数
c
(
c
≠0)的点
P
的轨迹方程为__________．
2．
MA
和
MB
分别是动点
M
(
x
，
y
)与两定点
A
(－1,0)和
B
(1,0)的连线，则使∠
AMB
为直角的动点
M
的轨迹方
程是__________．
3．平面上有三个点
A
(－2，
y
)，
B
，
C
(
x
，
y
)，若AB⊥BC，则动点
C
的轨迹方程为__________．
4．已知圆的方程为
x
2＋
y
2＝4，若抛物线过点
A
(－1,0)，
B
(1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线焦点的轨
迹方程是__________．
1
【考法拓展•题型解码】
考法一　　定义法求轨迹方程
归纳总结　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　
(1)在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据该曲线的标准
方程，写出所求的轨迹方程．
(2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，
则应对其中的变量
x
或
y
进行限制．
【例 1】 (2019·新乡调考)已知点
P
到点的距离比它到直线
x
＝－的距离小 2.
(1)求动点
P
的轨迹方程；
(2)记点
P
的轨迹为
E
，过点
S
(2,0)，斜率为
k
1的直线交
E
于
A
，
B
两点，
Q
(1,0)，延长
AQ
，
BQ
与
E
交于
C
，
D
两点，设
CD
的斜率为
k
2，证明：为定值．
考法二　　直接法求轨迹方程
解题技巧　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　
直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．通常将
步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略．如果给出了直角坐标系
则可省去建系这一步．求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性．
【例 2】 已知定点
A
，
B
，且|
AB
|＝2
a
.如果动点
P
到点
A
的距离与到点
B
的距离之比为 2∶1，求点
P
的轨迹．
2
考法三　　相关点法(代入法)求轨迹方程
答题模板　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　
相关点法(代入法)求轨迹方程的基本步骤
第一步：设出所求动点坐标
P
(
x
，
y
)．
第二步：寻求所求动点
P
(
x
，
y
)与已知动点
Q
(
x
′，
y
′)的关系．
第三步：建立
P
，
Q
两坐标间的关系，并用
x
，
y
用表示出
x
′，
y
′.
第四步：将
x
′，
y
′代入已知曲线方程中化简求解．
【例 3】 (2017·全国卷Ⅱ)设
O
为坐标原点，动点
M
在椭圆
C
：＋
y
2＝1 上，过
M
作
x
轴的垂线，垂足为
N
，
点
P
满足NP＝ NM.
(1)求点
P
的轨迹方程；
(2)设点
Q
在直线
x
＝－3 上，且OP·PQ＝1.证明：过点
P
且垂直于
OQ
的直线
l
过
C
的左焦点
F
.
【易错警示】
易错点　忽视了轨迹中的隐含条件
【典例】 直线
l
：
y
＝
k
(
x
－5)(
k
≠0)与圆
O
：
x
2＋
y
2＝16 相交于
A
，
B
两点，
O
为圆心，当
k
变化时，求弦
AB
的中点
M
的轨迹方程．
3
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