专题8.7 抛物线的定义、标准方程、几何性质（原卷版）

3.0 envi 2025-04-11 4 4 168.5KB 8 页 3知币
侵权投诉
第八篇 平面解析几何
专题 8.07 抛物线的定义、标准方程、几何性质
【考纲要求】
1.了解抛物线的定义、几何图形、标准方程，知道它的简单几何性质．
2.了解圆锥曲线的简单应用，了解抛物线的实际背景．
3.理解数形结合思想.
【命题趋势】
1.求解与抛物线定义有关的问题；利用抛物线的定义求轨迹方程；求抛物线的标准方程．
2.求抛物线的焦点和准线；求解与抛物线焦点有关的问题(如焦点弦、焦半径等问题.
【核心素养】
本讲内容主要考查数学运算和直观想象的核心素养.
【素养清单•基础知识】
1．抛物线的定义
平面内与一个定点
F
和一条定直线
l
(点
F
不在直线
l
上)
的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点
F
叫做抛物
线的焦点，定直线
l
叫做抛物线的准线.
2．抛物线的标准方程和几何性质
标准
y
2＝2
px
(
p
＞0)
y
2＝－2
px
(
p
＞
0)
x
2＝2
py
(
p
>0)
x
2＝－2
py
(
p
>0)
方程
图形
p
的几何意义：焦点
F
到准线
l
的距离
顶点
O
(0,0)
对称轴
x
轴
y
轴
焦点
F F F F
离心率
e
＝1
准线方程
x
＝－
x
＝
y
＝－
y
＝
范围
x
≥0，
y
∈R
x
≤0，
y
∈R
y
≥0，
x
∈R
y
≤0，
x
∈R
开口方向 向右 向左 向上 向下
1
焦半径(其中
P
(
x
0，
y
0))
|
PF
|＝
x
0＋ |
PF
|＝－
x
0＋ |
PF
|＝
y
0＋ |
PF
|＝－
y
0＋
【素养清单•常用结论】
与抛物线焦点弦有关的几个常用结论
设
AB
是过抛物线
y
2＝2
px
(
p
＞0)焦点
F
的弦，若
A
(
x
1，
y
1)，
B
(
x
2，
y
2)，
α
为弦
AB
的倾斜角．则
(1)
x
1
x
2＝，
y
1
y
2＝－
p
2.
(2)|
AF
|＝，|
BF
|＝.
(3)弦长|
AB
|＝
x
1＋
x
2＋
p
＝.
(4)＋＝.
(5)以弦
AB
为直径的圆与准线相切．
【真题体验】
1.【2019 年高考全国Ⅱ卷理数】若抛物线 y2=2px(p>0)的焦点是椭圆 的一个焦点，则 p=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
2.【2019 年高考天津卷理数】已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，若 与双曲线
的两条渐近线分别交于点 和点 ，且 （ 为原点），则双曲线
的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3.
【2018 年高考全国Ⅲ理数】已知点 和抛物线 ，过 的焦点且斜率为 的直线与 交
于 ， 两点．若 ，则 ________．
4.
【2017 年高考全国 II 理数】已知 是抛物线 的焦点， 是 上一点， 的延长线交 轴于
点 ．若 为 的中点，则 _______________．
2
5.
【2017 年高考全国 I理数】已知 F为抛物线 C： 的焦点，过 F作两条互相垂直的直线 l1，l2，直线 l1
与C交于 A、B两点，直线 l2与C交于 D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
【考法拓展•题型解码】
考法一　　抛物线的定义及其应用
归纳总结　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　
与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关，实现由点到点的距离与点到直线的距离的
转化．
(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．
(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原
理解决．
【例 1】 (1)定长为 3 的线段
AB
的两个端点在抛物线
y
2＝2
x
上移动，
M
为
AB
的中点，则点
M
到
y
轴的最短距
离为(　　)
A. B．1 C. D．2
(2)设
P
是抛物线
y
2＝4
x
上的一个动点，
F
为抛物线的焦点，若
B
(3,2)，则|
PB
|＋|
PF
|的最小值为_______
___．
考法二　　抛物线的标准方程及其几何性质
归纳总结　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　
(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有
p
，所以只需一个条件确定
p
值即可．
(2)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程．
(3)涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方
向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．
【例 2】 (1)已知双曲线－＝1(
a
＞0，
b
＞0)的两条渐近线与抛物线
y
2＝2
px
(
p
＞0)的准线分别交于
A
，
B
两点，
O
为坐标原点．若双曲线的离心率为 2，△
AOB
的面积为，则
p
＝(　　)
A．1 B. C．2 D．3
(2)(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线
C
的顶点为圆心的圆交
C
于
A
，
B
两点，交
C
的准线于
D
，
E
两点．已知|
AB
|
＝4，|
DE
|＝2，则
C
的焦点到准线的距离为(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
3
专题8.7 抛物线的定义、标准方程、几何性质（原卷版）.doc

共8页,预览3页

还剩页未读， 继续阅读

相关推荐

更多
立即下载
作者：envi 分类：高中 价格：3知币 属性：8 页 大小：168.5KB 格式：DOC 时间：2025-04-11

开通VIP享超值会员特权

  • 多端同步记录
  • 高速下载文档
  • 免费文档工具
  • 分享文档赚钱
  • 每日登录抽奖
  • 优质衍生服务

作者详情

相关内容

更多

推荐作者

热门标签

大联考 高考地理 英语真题 听力 语法填空 石家庄 数学竞赛 读后续写 英语阅读 深圳中学
/ 8
评分 收藏
分享
立即下载
客服
关注