专题8.5 椭圆的定义、标准方程、几何性质（原卷版）

3.0 envi 2025-04-11 4 4 218KB 10 页 3知币

侵权投诉

第八篇平面解析几何

专题 8.5 椭圆的定义、标准方程、几何性质

【考纲要求】

1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质．

2.了解圆锥曲线的简单应用，了解椭圆的实际背景．

3.理解数形结合的思想

【命题趋势】

1.求解与椭圆定义有关的问题；利用椭圆的定义求轨迹方程；求椭圆的标准方程；判断椭圆焦点的位置．

2．求解与椭圆的范围、对称性有关的问题；求解椭圆的离心率；求解与椭圆的焦点三角形有关的问题.

【核心素养】

本讲内容主要考查数学运算、直观想象和逻辑推理的核心素养

【素养清单•基础知识】

1．椭圆的定义

平面内与两个定点 F1，F2的距离的和等于常数

2a(2a＞|F1F2|)的动点 P的轨迹叫做椭圆，这两个

定点 F1，F2叫做椭圆的焦点.

2．椭圆的标准方程

(1)中心在坐标原点，焦点在 x轴上的椭圆

的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．

(2)中心在坐标原点，焦点在 y轴上的椭圆

的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．

3．椭圆的几何性质

标准方程＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0)

图形

对称性关于 x轴、y轴对称，关于原点中心对称

顶点坐标　(a,0)，(－a,0)，　(0，b)，(0，－

　(b,0)，(－b,0)，

(0，a)，(0，－a)

焦点坐标 (c,0)，(－c,0) (0，c)，(0，－c)

半轴长长半轴长为 a，短半轴长为 b，a＞b

离心率 e＝

a，b，c的关系 a2＝b2＋c2

长轴与短轴的交点叫做椭圆的中心．

离心率表示椭圆的扁平程度．当 e越接近于 1时，c越接

近于 a，从而 b＝越小，因此椭圆越扁．

【素养清单•常用结论】

(1)过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为，过焦点最长弦为长轴．

(2)过原点最长弦为长轴长 2a，最短弦为短轴长 2b.

(3)与椭圆＋＝1(a＞b＞0)有共焦点的椭圆方程为＋＝1(λ＞－b2)．

(4)焦点三角形：椭圆上的点 P(x0，y0)与两焦点 F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形．若 r1＝|PF1|，r2＝|

PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为 S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中：

①当r1＝r2，即点 P为短轴端点时，θ最大；

②S＝|PF1||PF2|sin θ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点 P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为 bc；

③△PF1F2的周长为 2(a＋c)．

【真题体验】

1.【2019 年高考全国Ⅰ卷理数】已知椭圆 C的焦点为，过 F2的直线与 C交于 A，B两

点．若，，则 C的方程为（）

A．

B．

C．

D．

2.【2019 年高考北京卷理数】已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，则（）

A．a2=2b2 B．3a2=4b2

C．a=2b D．3a=4b

3.【2019 年高考浙江卷】已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段

的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是___________．

【2019 年高考全国Ⅲ卷理数】设为椭圆 C:的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若

为等腰三角形，则 M的坐标为___________.

【2018 年高考全国Ⅱ理数】已知，是椭圆的左、右焦点，是的左顶点，

点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为（）

A． B．

C． D．

6.【2017 年高考全国Ⅲ理数】已知椭圆 C：的左、右顶点分别为 A1，A2，且以线段

A1A2为直径的圆与直线相切，则 C的离心率为（）

A． B．

C． D．

【考法拓展•题型解码】

考法一　　椭圆的定义及其应用

归纳总结　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当 P在椭圆上时，

与椭圆的两焦点 F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定

理可求·，通过整体代入可求其面积等．

【例 1】 (1)如图所示，一圆形纸片的圆心为 O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使 M与F

重合，然后抹平纸片，折痕为 CD，设 CD 与OM 交于点 P，则点 P的轨迹是(　　)

文档加载中……请稍候！
如果长时间未打开，您也可以点击刷新试试。

下载文档到电脑，查找使用更方便

3 知币 4人已下载

立即下载

专题8.5 椭圆的定义、标准方程、几何性质（原卷版）.doc

共10页,预览3页

还剩页未读，继续阅读

专题8.5 椭圆的定义、标准方程、几何性质（原卷版）

相关推荐

开通VIP享超值会员特权

作者详情

相关内容

推荐作者

热门标签

举报选择: