专题8.5 椭圆的定义、标准方程、几何性质（解析版）

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第八篇平面解析几何

专题 8.5 椭圆的定义、标准方程、几何性质

【考纲要求】

1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质．

2.了解圆锥曲线的简单应用，了解椭圆的实际背景．

3.理解数形结合的思想

【命题趋势】

1.求解与椭圆定义有关的问题；利用椭圆的定义求轨迹方程；求椭圆的标准方程；判断椭圆焦点的位置．

2.求解与椭圆的范围、对称性有关的问题；求解椭圆的离心率；求解与椭圆的焦点三角形有关的问题.

【核心素养】

本讲内容主要考查数学运算、直观想象和逻辑推理的核心素养

【素养清单•基础知识】

1．椭圆的定义

平面内与两个定点 F1，F2的距离的和等于常数

2a(2a＞|F1F2|)的动点 P的轨迹叫做椭圆，这两个

定点 F1，F2叫做椭圆的焦点.

2．椭圆的标准方程

(1)中心在坐标原点，焦点在 x轴上的椭圆

的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．

(2)中心在坐标原点，焦点在 y轴上的椭圆

的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．

3．椭圆的几何性质

标准方程＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0)

图形

对称性关于 x轴、y轴对称，关于原点中心对称

顶点坐标　(a,0)，(－a,0)，　(0，b)，(0，－

　(b,0)，(－b,0)，

(0，a)，(0，－a)

焦点坐标 (c,0)，(－c,0) (0，c)，(0，－c)

半轴长长半轴长为 a，短半轴长为 b，a＞b

离心率 e＝

a，b，c的关系 a2＝b2＋c2

长轴与短轴的交点叫做椭圆的中心．

离心率表示椭圆的扁平程度．当 e越接近于 1时，c越接

近于 a，从而 b＝越小，因此椭圆越扁．

【素养清单•常用结论】

(1)过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为，过焦点最长弦为长轴．

(2)过原点最长弦为长轴长 2a，最短弦为短轴长 2b.

(3)与椭圆＋＝1(a＞b＞0)有共焦点的椭圆方程为＋＝1(λ＞－b2)．

(4)焦点三角形：椭圆上的点 P(x0，y0)与两焦点 F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形．若 r1＝|PF1|，r2＝|

PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为 S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中：

①当r1＝r2，即点 P为短轴端点时，θ最大；

②S＝|PF1||PF2|sin θ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点 P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为 bc；

③△PF1F2的周长为 2(a＋c)．

【真题体验】

1.【2019 年高考全国Ⅰ卷理数】已知椭圆 C的焦点为，过 F2的直线与 C交于 A，B两

点．若，，则 C的方程为（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】法一：如图，由已知可设，则，

由椭圆的定义有．

在中，由余弦定理推论得．

在中，由余弦定理得，解得．

所求椭圆方程为，故选 B．

法二：由已知可设，则，

由椭圆的定义有．

在和中，由余弦定理得，

又互补，，两式消去，得

，解得．所求椭圆方程

为，故选 B．

【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了

直观想象、逻辑推理等数学素养．

2.【2019 年高考北京卷理数】已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，则（）

A．a2=2b2 B．3a2=4b2

C．a=2b D．3a=4b

【答案】B

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