专题8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系（原卷版）

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第八篇平面解析几何

专题 8.04 直线与圆、圆与圆的位置关系

【考纲要求】

1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．

2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．

3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.

【命题趋势】

圆的方程、直线与圆的位置关系在高考中几乎是年年考，一般单独命题．但有时也与圆锥曲线等知识综合，

重点考查函数与方程、数形结合及转化与化归思想的应用

【核心素养】

本讲内容主要考查数学运算、直观想象的核心素养.

【素养清单•基础知识】

1．直线与圆的位置关系(半径为 r，圆心到直线的距离为 d)

相离相切相交

图形

量化

方程观点 Δ＜0Δ＝0Δ＞0

几何观点 d＞r d＝r d＜r

2．圆与圆的位置关系(两圆半径为 r1，r2，d＝|O1O2|)

相离外切相交内切内含

图形

量的

关系

d＞r1＋r2d＝r1＋r2

|r1－r2|＜d＜

r1＋r2

d＝|r1－r2|d＜|r1－r2|

【素养清单•常用结论】

(1)圆的切线方程常用结论

①过圆x2＋y2＝r2上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程为 x0x＋y0y＝r2.

② 过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.

③过圆x2＋y2＝r2外一点 M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为 x0x＋y0y＝r2.

(2)直线被圆截得的弦长

弦心距 d、弦长 l的一半 l及圆的半径 r构成一直角三角形，且有 r2＝d2＋2.

【真题体验】

1.【2019 年高考浙江卷】已知圆的圆心坐标是，半径长是 .若直线与圆 C相切于点

，则 =___________，=___________．

【2018 年高考北京卷理数】在平面直角坐标系中，记 d为点 P（cos θ，sin θ）到直线的距离，

当θ，m变化时，d的最大值为

A．1 B．2

C．3 D．4

3.【2018 年高考全国Ⅲ卷理数】直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆

上，则面积的取值范围是

A．B．

C．D．

【2018 年高考江苏卷】在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，以 AB

为直径的圆 C与直线 l交于另一点 D．若，则点 A的横坐标为________．

【考法拓展•题型解码】

考法一　　直线与圆的位置关系

归纳总结　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

判断直线与圆的位置关系的常见方法

(1)几何法：利用 d与r的关系．

(2)代数法：联立方程之后利用 Δ判断．

(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．

上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．

【例 1】 (1)直线 l：mx－y＋1－m＝0与圆 C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是(　　)

A．相交 B．相切

C．相离 D．不确定

(2)已知点 P(a，b)(ab≠0)是圆 x2＋y2＝r2内的一点，直线 m是以 P为中点的弦所在的直线，直线 l的方程为

ax＋by＝r2，那么(　　)

A．m∥l，且 l与圆相交 B．m⊥l，且 l与圆相切

C．m∥l，且 l与圆相离 D．m⊥l，且 l与圆相离

考法二　　弦长问题

归纳总结　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

弦长的两种求法

(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式 Δ＞0的前提下，

利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长．

(2)几何方法：若弦心距为 d，圆的半径长为 r，则弦长 l＝2.

【例 2】 (2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系 xOy 中，曲线 y＝x2＋mx－2与x轴交于 A，B两点，点 C的坐标为

(0,1)，当 m变化时，解答下列问题：

(1)能否出现 AC⊥BC 的情况？说明理由；

(2)证明过 A，B，C三点的圆在 y轴上截得的弦长为定值．

考法三　　圆的切线问题

误区防范　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

求圆的切线方程应注意的问题

求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程．若点在圆上(即为切点)，则

过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意斜率不存在的切线．

【例 3】已知点 P(＋1,2－)，点 M(3,1)，圆 C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.

(1)求过点 P的圆 C的切线方程；

(2)求过点 M的圆 C的切线方程．

考法四　　圆与圆的位置关系

归纳总结　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(1)判断两圆的位置关系多用几何法，即用两圆圆心距与半径和或差的关系判断，一般不采用代数法．

(2)求两圆公共弦长的方法是在其中一圆中，由弦心距 d，半弦长，半径 r所在线段构成直角三角形，利用

勾股定理求解．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．

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