专题8.3 圆的方程（解析版）

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第八篇平面解析几何

专题 8.3 圆的方程

【考纲要求】

1.掌握确定圆的几何要素．

2.掌握圆的标准方程与一般方程．

3.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系表示点的位置．

4.会简单应用空间两点间的距离公式.

【命题趋势】

圆的方程，利用圆的性质求解最值

【核心素养】

本讲内容主要考查数学运算、直观想象的核心素养.

【素养清单•基础知识】

1．圆的定义及方程

定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)

标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圆心：(a，b)，半径： r

一般方程

x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

(D2＋E2－4F＞0)

圆心：，

半径：

标准方程强调圆心坐标为(a，b)，半径为 r.

(1)当D2＋E2－4F＝0时，方程表示一个点；

(2)当D2＋E2－4F＜0时，方程不表示任何图形．

2．点与圆的位置关系

点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：

(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2r2.

(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2r2.

(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2r2.

【素养清单•常用结论】

(1)二元二次方程 Ax

＋Bxy＋Cy

＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是

(2)以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.

【真题体验】

1．已知点 A(1，－1)，B( －1,1)，则以线段 AB 为直径的圆的方程是(　　)

A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝

C．x2＋y2＝1 D．x2＋y2＝4

【答案】A　

【解析】因为圆心为(0,0)，半径 r＝＝，所以圆的方程为 x2＋y2＝2.

2．方程 x2 ＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圆，则 m的取值范围是(　　)

A．(－∞，－)∪

B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

C．(－∞，－)∪(，＋∞)

D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

【答案】B　

【解析】因为方程表示圆，则 m2＋(－2)2－4×3>0，所以 m<－2或m>2.

3．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数 a满足的条件是(　　)

A．－1＜a＜1 B．0＜a＜1

C．a＞1或a＜－1 D．a＝±1

【答案】A　

【解析】点(1,1)在圆内，所以(1－a)2＋(1＋a)2<4，即－1<a<1.

4．如图，已知长方体 ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，BC＝3，M为AC1与CA1的交点，则点 M的坐标

为__________．

【答案】

【解析】由长方体的几何性质得 M为AC1的中点，在所给的坐标系中，A(0,0,0)，C1(2,3,2)，则中点 M的坐

标为.

【考法拓展•题型解码】

考法一　　求圆的方程

归纳总结　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

求圆的方程的方法

(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．

(2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a，b)和半径 r有关，则设出圆的标准方程，依据已知条件列出关于

a，b，r的方程组，从而求出 a，b，r的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，

依据已知条件列出关于 D，E，F的方程组，进而求出 D，E，F的值.

【例 1】根据下列条件，求圆的方程．

(1)经过点 A(5,2)，B(3，－2)，且圆心在直线 2x－y－3＝0上；

(2)经过 P(－2,4)，Q(3，－1)两点，并且在 x轴上截得的弦长等于 6.

【答案】见解析

【解析】 (1)由题意知 kAB＝2，AB 中点为(4,0)，设圆心 C(a，b)．

因为圆过 A(5,2)，B(3，－2)两点，

所以圆心一定在线段 AB 的垂直平分线上，

则解得所以 C(2,1)，

所以 r＝|CA|＝＝，

所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.

(2)设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.

将P，Q两点的坐标分别代入得

又令 y＝0，得 x2＋Dx＋F＝0.　　③

设x1，x2是方程③的两根，

由|x1－x2|＝6，得 D2－4F＝36，　　④

由①②④解得 D＝－2，E＝－4，F＝－8或D＝－6，E＝－8，F＝0.

故所求圆的方程为 x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.

考法二　　与圆有关的最值问题

归纳总结　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法：一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结

合求解．

(2)与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：①形如 μ＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最

值问题；②形如 t＝ax＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；③形如(x－a)2＋(y－b)2形

式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．

【例 2】已知实数 x，y满足方程 x2＋y2－4x＋1＝0.

(1)求y－x的最大值和最小值；

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