专题8.2 两直线平行、垂直的充要条件、对称问题及三种距离公式（解析版）

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第八篇平面解析几何

专题 8.2 两直线平行、垂直的充要条件、对称问题及三种距离公式

【考纲要求】

1.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直．

2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．

3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离

【命题趋势】

确定两条直线的位置关系，已知两条直线的位置关系求参数，求直线的交点和点到直线的距离，对称问题，

过定点的直线系问题

【核心素养】

本讲内容主要考查逻辑推理和数学运算的核心素养

【素养清单•基础知识】

1．两条直线平行与垂直的判定

(1)两条直线平行

① 对于两条不重合的直线 l1，l2，若其斜率分别为 k1，k2，则有 l1∥l2⇔k1＝k2.

② 当直线 l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.

(2)两条直线垂直

① 如果两条直线 l1，l2的斜率存在，

设为 k1，k2，则有 l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.

② 当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为 0时，l1⊥l2.

2．两条直线的交点的求法

直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则 l1与l2的交点坐标就是方程组的解．

3．三种距离公式

点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离＝

点P0(x0，y0)到直线 l：Ax＋By＋C＝0的距离 d＝

两条平行线 Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离 d＝

【素养清单•常用结论】

(1)与直线 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直或平行的直线方程可设为：

① 垂直：Bx－Ay＋m＝0；

② 平行：Ax＋By＋n＝0.

(2)与对称问题相关的四个结论：

① 点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y)．

② 点(x，y)关于直线 x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线 y＝b的对称点为(x,2b－y)．

③ 点(x，y)关于直线 y＝x的对称点为(y，x)，关于直线 y＝－x的对称点为(－y，－x)．

④ 点(x，y)关于直线 x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线 x－y＝k的对称点为

(k＋y，x－k)．

【真题体验】

1．已知 l1的倾斜角为 45°，l2经过点 P(－2，－1)，Q(3，m)，若 l1⊥l2，则实数 m＝(　　)

A．6 B．－6

C．5 D．－5

【答案】B　

【解析】由已知得 k1＝1，k2＝.因为 l1⊥l2，所以 k1k2＝－1，所以 1×＝－1，即 m＝－6.

2．(2018·北京卷)在平面直角坐标系中，记 d为点 P(cos θ，sin θ)到直线 x－my－2＝0的距离．当 θ，m变

化时，d的最大值为(　　)

A．1 B．2

C．3 D．4

【答案】C　

【解析】易知 d＝＝＝＝

(其中 cos φ＝，sin φ＝)，因为－1≤sin(θ－φ)≤1，所以≤d≤，＝1＋，所以当 m＝0时，d取得最大值 3，故

选C.

3．点(a，b)关于直线 x＋y＋1＝0的对称点是(　　)

A．(－a－1，－b－1) B．(－b－1，－a－1)

C．(－a，－b) D．(－b，－a)

【答案】B　

【解析】设对称点为(x′，y′)，则

解得 x′＝－b－1，y′＝－a－1.

4．(2019·哈尔滨三中期末)已知直线 l1的方程为 3x＋4y－7＝0，直线 l2的方程为 6x＋8y＋1＝0，则直线 l1与

l2的距离为__________．

【答案】

【解析】直线 l1的方程为 3x＋4y－7＝0，直线 l2的方程为 6x＋8y＋1＝0，

即3x＋4y＋＝0，所以直线 l1与l2的距离为＝.

【考法拓展•题型解码】

考法一　　两条直线的位置关系

误区防范　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

判断两条直线平行与垂直的注意点

(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情

况．同时还要注意 x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．

(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程系数间的关系得出结论．

【例 1】 (1)已知过点 A(－2，m)和点 B(m,4)的直线为 l1，直线 2x＋y－1＝0为l2，直线 x＋ny＋1＝0为l3.若

l1∥l2，l2⊥l3，则实数 m＋n的值为(　　)

A．－10 B．－2

C．0 D．8

【答案】 A

【解析】因为 l1∥l2，所以＝－2(m≠－2)，解得 m＝－8(经检验，l1与l2不重合)．因为 l2⊥l3，所以 2×1＋1×n

＝0，即 n＝－2.

所以 m＋n＝－10.

(2)已知两直线 l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，试确定 m，n的值，使① l1与l2相交于点 P(m，－

1)；② l1∥l2；③ l1⊥l2，且 l1在y轴上的截距为－1.

【答案】见解析

【解析】①由题意得解得

②因为l1∥l2，所以解得或

③ 当且仅当 2m＋8m＝0，即 m＝0时，l1⊥l2.又－＝－1，所以 n＝8.

考法二　　两条直线的交点问题

归纳总结　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(1)求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程联立组成的方程组，得到的方程组的解，即交点的坐标．

(2)求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．也可

借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，常用的直线系方程如下：

① 与直线 Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是 Ax＋By＋m＝0(m∈R，且 m≠C)；②与直线 Ax＋By＋C＝0垂

直的直线系方程是 Bx－Ay＋m＝0(m∈R)；③过直线 l1：A1x＋B1y＋C1 ＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的

直线系方程为 A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括 l2.

【例 2】 (1)(2019·新乡期末)三条直线 l1：x－y＝0，l2：x＋y－2＝0，l3：5x－ky－15＝0构成一个三角形，则

k的取值范围是(　　)

A．k∈R B．k∈R且k≠±1，k≠0

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