专题08 函数与方程的解题思路和方法（原卷版）

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专题 08 函数与方程的解题思路和方法
[高考定位] 基本初等函数是高考的命题热点，相关题目多单独对其考查或结合不等式综合考查，常以选择
题、填空题的形式出现，有时难度较大；对函数的应用，主要考查函数零点个数的判断、函数零点所在区
间的确定等．
考点一　基本初等函数的图象与性质
[核心提炼]
1．指数式和对数式的 8个运算公式
(1)am·an＝am＋n. (2)(am)n＝amn. (3)(ab)m＝ambm，其中，a＞0，b＞0.
(4)loga(MN)＝logaM＋logaN. (5)loga＝logaM－logaN. (6)logaMn＝nlogaM.
(7)alogaN＝N. (8)logaN＝，其中，a＞0，且 a≠1，b＞0且b≠1，M＞0，N＞0.
2．指数函数和对数函数的图象与性质
指数函数 y＝ax(a＞0，a≠1)和对数函数 y＝logax(a＞0，a≠1)的图象与性质，分 0＜a＜1，a＞1两种情况：
当a＞1时，两函数在定义域内都为增函数，当 0＜a＜1时，两函数在定义域内都为减函数．
考点二　函数的实际应用
[核心提炼]
函数的 3种常见模型及求法
(1)构建二次函数模型，常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解．
(2)构建分段函数模型，应用分段函数分段求解的方法．
(3)构建 f(x)＝x＋(a＞0)模型，常用基本不等式、导数等知识求解．
[规律方法]
判断函数零点个数的方法
(1)解方程法，即解方程 f(x)＝0，方程不同的解的个数即为函数 f(x)的零点的个数．
(2)图象法，画出函数 f(x)的图象，图象与 x轴的交点个数即为函数 f(x)的零点个数．
(3)数形结合，即把函数的零点问题等价地转化为两个函数图象的交点问题，通过判断交点的个数得出函数
零点的个数．
(4)利用零点存在性定理判断．
【题型归类】
一．零点个数的判断
1
二．零点存在定理应用
三．二分法的应用
四．零点与参数
五．复合函数零点问题
六．函数的实际应用
七、函数零点与导数的综合
八．方程的整数解问题
九．零点与不等式综合
十．函数性质与零点综合
【方法总结】
一．零点个数的判断
例1. ．函数 的零点个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
练习 1. 若 满足 ， 满足 ，函数 ，则关于 的方
程 解的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．零点存在定理应用
例2. ．已知二次函数 的部分图象如图所示，则函数 的零点所在区间
为（ ）
A．B．C．D．
2
练习 1. 对于函数 定义域为 R，若 ，则（ ）
A．方程 一定有一个实数解 B．方程 一定有两个实数解
C．方程 一定无实数解 D．方程 可能无实数解
三．二分法的应用
例3. 求下列函数的零点，可以采用二分法的是（ ）
A．B．
C．D．
练习 1. 若函数 f（x）=x3+x2-2x-2 的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：
那么方程 x3+x2-2x-2=0 的一个近似根（精确到 0.1）为（ ）
f（1）=-2 f（1.5）=0.625
f（1.25）=-0.984 f（1.375）=-0.260
f（1.438）=0.165 f（1.4065）=-0.052
A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5
练习 2. 用二分法求函数 零点的近似值时，如果确定零点所处的初始区间为 ，
那么 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
四．零点与参数
例4．若函数 有且只有 4个不同的零点，则实数 的取值范围是（ ）
3
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