专题08 函数与方程的解题思路和方法（解析版）

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专题 08 函数与方程的解题思路和方法

[高考定位] 基本初等函数是高考的命题热点，相关题目多单独对其考查或结合不等式综合考查，常以选择

题、填空题的形式出现，有时难度较大；对函数的应用，主要考查函数零点个数的判断、函数零点所在区

间的确定等．

考点一　基本初等函数的图象与性质

[核心提炼]

1．指数式和对数式的 8个运算公式

(1)am·an＝am＋n. (2)(am)n＝amn. (3)(ab)m＝ambm，其中，a＞0，b＞0.

(4)loga(MN)＝logaM＋logaN. (5)loga＝logaM－logaN. (6)logaMn＝nlogaM.

(7)alogaN＝N. (8)logaN＝，其中，a＞0，且 a≠1，b＞0且b≠1，M＞0，N＞0.

2．指数函数和对数函数的图象与性质

指数函数 y＝ax(a＞0，a≠1)和对数函数 y＝logax(a＞0，a≠1)的图象与性质，分 0＜a＜1，a＞1两种情况：当

a＞1时，两函数在定义域内都为增函数，当 0＜a＜1时，两函数在定义域内都为减函数．

考点二　函数的实际应用

[核心提炼]

函数的 3种常见模型及求法

(1)构建二次函数模型，常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解．

(2)构建分段函数模型，应用分段函数分段求解的方法．

(3)构建 f(x)＝x＋(a＞0)模型，常用基本不等式、导数等知识求解．

[规律方法]

判断函数零点个数的方法

(1)解方程法，即解方程 f(x)＝0，方程不同的解的个数即为函数 f(x)的零点的个数．

(2)图象法，画出函数 f(x)的图象，图象与 x轴的交点个数即为函数 f(x)的零点个数．

(3)数形结合，即把函数的零点问题等价地转化为两个函数图象的交点问题，通过判断交点的个数得出函数

零点的个数．

(4)利用零点存在性定理判断．

【题型归类】

一．零点个数的判断

二．零点存在定理应用

三．二分法的应用

四．零点与参数

五．复合函数零点问题

六．函数的实际应用

七、函数零点与导数的综合

八．方程的整数解问题

九．零点与不等式综合

十．函数性质与零点综合

【方法总结】

一．零点个数的判断

例1. ．函数的零点个数为( )

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【解析】由于函数在上是增函数，且，，故

函数在上有唯一零点，也即在上有唯一零点.

故选:B

练习 1. 若满足，满足，函数，则关于的方

程解的个数是（）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】∵ 满足，满足，∴ ，分别为函数与函数，

图象交点的横坐标，由于与图象交点的横坐标为 2，函数，的图

象关于对称，∴ ，∴函数，当时，关于的方程

，即，即，∴ 或，满足题意，当时，关于

的方程，即，满足题意，∴关于的方程的解的个数是 3，故选 C.

二．零点存在定理应用

例2. ．已知二次函数的部分图象如图所示，则函数的零点所在区间

为（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】由函数 f(x)的图象可知，0＜f(0)＝a＜1，f(1)＝1－b＋a＝0，所以 1＜b＜2.

又f′(x)＝2x－b，所以 g(x)＝ex＋2x－b，所以 g′(x)＝ex＋2＞0，所以 g(x)在R上单调递增，

又g(0)＝1－b＜0，g(1)＝e＋2－b＞0，

根据函数的零点存在性定理可知，函数 g(x)的零点所在的区间是(0，1)，

故选 B.

练习 1. 对于函数定义域为 R，若，则（）

A．方程一定有一个实数解 B．方程一定有两个实数解

C．方程一定无实数解 D．方程可能无实数解

【答案】D

【解析】因为，且的定义域为，

若是连续函数，则根据函数的零点存在性定理，

故可得在区间上一定有一个实数解；

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