专题08 复数（知识梳理）（人教A版选修2-2）（解析版）

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专题 08 复数（知识梳理）
一、复数的概念
1、虚数单位 ：
(1)它的平方等于 ，即 ；
(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立；
(3) 与 的关系： 就是 的一个平方根，即方程 的一个根，方程 的另一个根是
；
(4) 的周期性： 、 、 、 。
2、数系的扩充：复数 。
3、复数的定义：形如 ( )的数叫复数， 叫复数的实部， 叫复数的虚部。全体复数所
成的集合叫做复数集，用字母 表示。
4、复数的代数形式： 通常用字母 表示，即 ( )，把复数表示成 的形式，叫
做复数的代数形式。
5、复数与实数、虚数、纯虚数及 的关系：对于复数 ( )，
当且仅当 时，复数 ( )是实数 ，
当 时，复数 叫做虚数，
当 且 时， 叫做纯虚数，
当且仅当 时， 就是实数 。
6、复数集与其它数集之间的关系： 。
7、两个复数相等的定义：
如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等。
这就是说，如果 、 、 、 ，那么 、 。
例1-1．设 为虚数单位，则下列命题成立的是( )。
A、 ，复数 是纯虚数
B、在复平面内 对应的点位于第三象限
C、若复数 ，则存在复数 ，使得
D、 ，方程 无解
【答案】C
【解析】A选项，只有当 时，复数 是纯虚数，错，
B选项， ，对应的点位于第一象限，错，
C选项，若复数 ，则存在复数 ，使得 ，对，
D选项， ，方程 成立，错，∴C正确。
例1-2．若复数 (为虚数单位)，则 ( )。
1
A、
B、
C、
D、
【答案】A
【解析】 ，∴ ，故选 A。
例1-3．已知 ， 为虚数单位，若 为纯虚数，则 的值为 。
【答案】
【解析】由题意得 ，∵ 为纯虚数，∴ ，
解得 。
二、复数的几何意义
1、复平面、实轴、虚轴：
复数 ( )与有序实数对 是一一对应关系。
建立一一对应的关系。点 的横坐标是 ，纵坐标是 ，复数 ( ) 可用点
表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面， 轴叫做实轴，
轴叫做虚轴。
实轴上的点都表示实数。
对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为 ，它所确定的复数是
表示是实数。
除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。
2、复数 复平面内的点 。
这就是复数的一种几何意义。也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。
3、复数的模：复数 ( )的模就是其在复平面内的点 到原点 的距离。
。
4、共轭复数：
当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。
复数 ( )的共轭复数为 ( )。
虚部不等于 的两个共轭复数也叫做共轭虚数。
例2-1．复数 在复平面内对应的点位于( )。
A、第一象限
B、第二象限
C、第三象限
2
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