专题08 不等式选讲(解析版)

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专题 08 不等式选讲
1. 函数 的最小值为 .
（1）求 的值；
（2）若 ，且 ，求 的最小值．
【解析】（1）由题意，函数
当 时，函数的最小值为 ；当 时，函数的最小值 ；
当 时，函数的最小值为 ，
所以函数的最小值为 ，即 .
（2）由（1）知， ，则 ，
则
，
当且仅当 且 ，即 时取等号，
所以 的最小值为 .
2.已知函数 ，其中 .
1
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若不等式 的解集为 ，求 的值.
【解析】方法一：（1） 时， 由 ，得
，
∴ 不等式的解集为 .
（2）由 ，可得 ，或 .即 ，或 .
1）当 时，不等式的解集为 .由 ，得 .
2）当 时，解集为 ，不合题意.
3）当 时，不等式的解集为 .由 ，得 .
综上， ，或 .
方法二：（1）当 时， ，函数为单调递增函数，
此时如果不等式 的解集为 成立，
那么 ，得 ；
（2）当 时， ，函数为单调递增函数，
此时如果不等式 的解集为 成立，
那么 ，得 ；经检验， 或 都符合要求.
3.已知函数 ，
（1）解不等式： ；
（2）若对任意的 ，都有 ，使得 成立，求实数 的取值范围.
【解析】（1）由 得
.
（2）∵ 的值域为 ，∴对任意的 ，都有 ，使得
2
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